2024年10期
浅析高中立体几何的入门学习
【关键词】 ；
【正文】摘 要：立体几何是研究空间图形的 一门学科，这就要求我们在已有的平面图形 知识的基础上，建立空间概念，实现从平面 几何到空间几何的飞跃与提升。
关键词：高中数学 立体几何 入门
立体几何的学习主要在于培养空间抽 象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力 和空间想象能力。立体几何是中学数学的一个难点，学生普遍反映“几何比代数难学”。 但很多学好这部分的同学，又觉得这部分很 简单。我这里只是从大的方面讨论学习方法。
1 .重视基础知识教学
立体几何的基础知识是它的基本概念、 公理、定理和方法，尽管立几概念、公理所概 括的事物及其关系广泛地存在于实际生活 中，但由于数学化的立几概念太抽象，与实 际的感受有较大的距离，所以在立几教学的 开始阶段是有一定困难的。克服困难的办法 是要遵循教学的规律，使立体几何基础知识 教学尽可能与学生的认知过程靠近，注重直 观思维的作用，并且逐步把直观思维引导到分析思维，从而达到对基础知识本质的理解。
立几的概念、公理、定理是立几教学的 核心内容，是基础知识的起点，是逻辑推理、 判断的依据，是正确、合理计算的基本保证， 基础知识的教学，应注意教给学生规律性的 知识与知识的规律，使其对知识的掌握条理 分明，系统严谨，达到“招之即来”，“来之即 用”。这样既可使学生对立几知识正确理解， 又可以培养学生阅读和自觉钻研的精神，这 在立几入门教学中显得特别重要。
2 .平面观念向空间观念的转换
2.1 诱导迁移，将学生思维观念由“平面” 引向“空间”。由二维平面跨入三维空间，由 平面几何到立体几何，不论是图形还是概念 的拓展、变化，对学生来说往往是个难点。在 学习立体几何的过程中，学生不仅受平面几 何的正迁移作用，而且在思维、概念、理论上 也常被束缚在二维平面上，产生负迁移作 用。例如：“平行于同一条直线的两条直线平 行”，“一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，则这两个角相等或互补”，学到这些与 旧知识类似的地方，学生往往产生心理上的 正迁移，很容易接受。有时，学生往往习惯于 把平面几何知识照搬到立体几何中来，又会 产生心理上的负迁移。比如：解答“垂直于同 一条直线的两条直线有几种位置关系”时， 学生会受平面几何中“垂直于同一条直线的 两条直线平行”的干扰。对此，教师课前要做 到心中有数，课堂上注意提醒学生，让学生 观察实验、模型，找一找哪些是垂直于同一 条直线的两条直线，它们的位置关系如何. 通过观察思考，回答正确后，进一步让学生 画出这三种位置关系的直观图。通过诱导迁 移，扬长除弊，使学生逐渐把自己的观念从 “平面”引向“空间”。
2.2 通过图形的识和画，使学生的想象能 力由“平面”引向“空间”。图形是交流空间想 象的工具，而识图和画图是两个互逆过程， 它们都要通过空间想象来完成。因此，丰富 学生头脑中的空间表象和识图意识，是培养 空间想象能力的一种重要手段。
在平面几何中，图形与实物形状是统一 的，而立体几何所研究的对象是三维空间的 图形，无法真实地画在一个二维平面上，只 能画出它的直观图。这就难免出现与原来的 实物相比时发生“失真”现象，如正方形不 “正”，直角不“直”等。学生开始很难适应这 种直观图的识和画，比如，不论你在黑板上 画出什么样的空间四边形的直观图，他们总 认为是平面四边形，而把辅助线总爱画成虚 线。为了突破这一难关，在学习立体几何的 起始阶段，我们安排以下四个“梯级”来进行 培养。第一梯级：运用实物、模型等进行直观 教学，使学生在头脑中形成空间观念的整体 形象。第二梯级：通过教师和学生绘制草图 或示意图，使头脑中形成的空间观念和形象 “具体化”。第三梯级：研究图形的组成元素 及其性质，深入了解图形的内部结构和特 性。第四梯级：根据给定条件，运用画图工具 作图，切实掌握空间形式的常用表达方法。
3. 空间想象能力与逻辑推理能力的培养
3.1 空间想象能力的培养。培养学生空间 想象力首先要使学生学好有关空间的基础 知识。我们知道，一个建筑设计师能够想象 设计出未曾建造过的建筑物，主要是由于建 筑师不仅具有丰富的建筑物感性认识，而且 还具有建筑物的理性知识。所以学生学好有 关空间形式的几何知识是提高学生空间想 象力而具有理性认识的根本。
3.2 逻辑推理能力的培养。立体几何的研 究方法与平面几何的研究方法类似，即依据 公理，运用逻辑推理方法，这就要求初学立 体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养， 学生在开始学习立体几何的证明过程中，常 常会出现以下两种错误：一个是由学生逻辑 推理能力差而导致证明思路上的错误；另一 个是由学生语言表达能力差而导致的证题 的书面表达上的错误。例如，公理3 的推论 1：“经过一条直线和这条直线外的一点，有 且只有一个平面。”学生们常常这样来证明 这个推论：A 是直线a 外一点。在a 上任取两 点B、C，则A、B、C 三点不共线。根据公理3， 经过不公线三点A、B、C 有且仅有一个平面 ɑ ，又点B、C 都在平面ɑ 内，所以根据公理 1，直线a 在平面ɑ 内，即过直线a 和点A 有且只有一个平面。当然，这样证明是不全 对的，事实上，上面的证明过程中有这样一 个逻辑错误：即先承认过A、B、C 三点的平面 构成的集合与过直线a 和点A 的平面构成 的集合是两个相等的集合，从而由第一个集 合有且仅有一个元素导出第二个集合有且 只有一个元素。正确的逻辑推理应该是这样 的：先证明上面的第二个集合包含于第一个 集合，从而由第一个集合有且只有一个元素 导出第二个集合最多有一个元素；其次，证 明第二个集合集合确实有一个元素，最后， 得出第二个集合有且只有一个元素的结论。 由此不难看出要学好立体几何的基础知识， 必须要注重逻辑推理能力的培养。
总之，教师要让学生过好概念关，立足课本，打好基础；高中立体几何教师要帮助学生提高逻辑论证能力；高中立体几何教师要努力培养学生的空间想象力；高中立体几何教师要加强对学生几何解题能力的训练。
关键词：高中数学 立体几何 入门
立体几何的学习主要在于培养空间抽 象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力 和空间想象能力。立体几何是中学数学的一个难点，学生普遍反映“几何比代数难学”。 但很多学好这部分的同学，又觉得这部分很 简单。我这里只是从大的方面讨论学习方法。
1 .重视基础知识教学
立体几何的基础知识是它的基本概念、 公理、定理和方法，尽管立几概念、公理所概 括的事物及其关系广泛地存在于实际生活 中，但由于数学化的立几概念太抽象，与实 际的感受有较大的距离，所以在立几教学的 开始阶段是有一定困难的。克服困难的办法 是要遵循教学的规律，使立体几何基础知识 教学尽可能与学生的认知过程靠近，注重直 观思维的作用，并且逐步把直观思维引导到分析思维，从而达到对基础知识本质的理解。
立几的概念、公理、定理是立几教学的 核心内容，是基础知识的起点，是逻辑推理、 判断的依据，是正确、合理计算的基本保证， 基础知识的教学，应注意教给学生规律性的 知识与知识的规律，使其对知识的掌握条理 分明，系统严谨，达到“招之即来”，“来之即 用”。这样既可使学生对立几知识正确理解， 又可以培养学生阅读和自觉钻研的精神，这 在立几入门教学中显得特别重要。
2 .平面观念向空间观念的转换
2.1 诱导迁移，将学生思维观念由“平面” 引向“空间”。由二维平面跨入三维空间，由 平面几何到立体几何，不论是图形还是概念 的拓展、变化，对学生来说往往是个难点。在 学习立体几何的过程中，学生不仅受平面几 何的正迁移作用，而且在思维、概念、理论上 也常被束缚在二维平面上，产生负迁移作 用。例如：“平行于同一条直线的两条直线平 行”，“一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，则这两个角相等或互补”，学到这些与 旧知识类似的地方，学生往往产生心理上的 正迁移，很容易接受。有时，学生往往习惯于 把平面几何知识照搬到立体几何中来，又会 产生心理上的负迁移。比如：解答“垂直于同 一条直线的两条直线有几种位置关系”时， 学生会受平面几何中“垂直于同一条直线的 两条直线平行”的干扰。对此，教师课前要做 到心中有数，课堂上注意提醒学生，让学生 观察实验、模型，找一找哪些是垂直于同一 条直线的两条直线，它们的位置关系如何. 通过观察思考，回答正确后，进一步让学生 画出这三种位置关系的直观图。通过诱导迁 移，扬长除弊，使学生逐渐把自己的观念从 “平面”引向“空间”。
2.2 通过图形的识和画，使学生的想象能 力由“平面”引向“空间”。图形是交流空间想 象的工具，而识图和画图是两个互逆过程， 它们都要通过空间想象来完成。因此，丰富 学生头脑中的空间表象和识图意识，是培养 空间想象能力的一种重要手段。
在平面几何中，图形与实物形状是统一 的，而立体几何所研究的对象是三维空间的 图形，无法真实地画在一个二维平面上，只 能画出它的直观图。这就难免出现与原来的 实物相比时发生“失真”现象，如正方形不 “正”，直角不“直”等。学生开始很难适应这 种直观图的识和画，比如，不论你在黑板上 画出什么样的空间四边形的直观图，他们总 认为是平面四边形，而把辅助线总爱画成虚 线。为了突破这一难关，在学习立体几何的 起始阶段，我们安排以下四个“梯级”来进行 培养。第一梯级：运用实物、模型等进行直观 教学，使学生在头脑中形成空间观念的整体 形象。第二梯级：通过教师和学生绘制草图 或示意图，使头脑中形成的空间观念和形象 “具体化”。第三梯级：研究图形的组成元素 及其性质，深入了解图形的内部结构和特 性。第四梯级：根据给定条件，运用画图工具 作图，切实掌握空间形式的常用表达方法。
3. 空间想象能力与逻辑推理能力的培养
3.1 空间想象能力的培养。培养学生空间 想象力首先要使学生学好有关空间的基础 知识。我们知道，一个建筑设计师能够想象 设计出未曾建造过的建筑物，主要是由于建 筑师不仅具有丰富的建筑物感性认识，而且 还具有建筑物的理性知识。所以学生学好有 关空间形式的几何知识是提高学生空间想 象力而具有理性认识的根本。
3.2 逻辑推理能力的培养。立体几何的研 究方法与平面几何的研究方法类似，即依据 公理，运用逻辑推理方法，这就要求初学立 体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养， 学生在开始学习立体几何的证明过程中，常 常会出现以下两种错误：一个是由学生逻辑 推理能力差而导致证明思路上的错误；另一 个是由学生语言表达能力差而导致的证题 的书面表达上的错误。例如，公理3 的推论 1：“经过一条直线和这条直线外的一点，有 且只有一个平面。”学生们常常这样来证明 这个推论：A 是直线a 外一点。在a 上任取两 点B、C，则A、B、C 三点不共线。根据公理3， 经过不公线三点A、B、C 有且仅有一个平面 ɑ ，又点B、C 都在平面ɑ 内，所以根据公理 1，直线a 在平面ɑ 内，即过直线a 和点A 有且只有一个平面。当然，这样证明是不全 对的，事实上，上面的证明过程中有这样一 个逻辑错误：即先承认过A、B、C 三点的平面 构成的集合与过直线a 和点A 的平面构成 的集合是两个相等的集合，从而由第一个集 合有且仅有一个元素导出第二个集合有且 只有一个元素。正确的逻辑推理应该是这样 的：先证明上面的第二个集合包含于第一个 集合，从而由第一个集合有且只有一个元素 导出第二个集合最多有一个元素；其次，证 明第二个集合集合确实有一个元素，最后， 得出第二个集合有且只有一个元素的结论。 由此不难看出要学好立体几何的基础知识， 必须要注重逻辑推理能力的培养。
总之，教师要让学生过好概念关，立足课本，打好基础；高中立体几何教师要帮助学生提高逻辑论证能力；高中立体几何教师要努力培养学生的空间想象力；高中立体几何教师要加强对学生几何解题能力的训练。
- 【发布时间】2017/9/4 15:48:11
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