2024年10期
函数与导数考点分析与真题再现
【关键词】 ；
【正文】 一、考点分析：
考点一：函数的概念
高考对函数概念的考查常考定义域，值域，对应法则，考查难度一般。
1.(2015·浙江，7)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )
A.f(sin 2x)＝sin x B.f(sin 2x)＝x2＋x
C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|
2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f(x)＝1+log2(2-x)x＜1,2x-1,x≥1则f(－2)＋f(log212)＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
3.(2014·山东，3)函数f(x)＝■的定义域为( )
A.(0,■) B.(2，＋∞)
C.(0,■）∪(2，＋∞) D.(0,■]∪[2，＋∞)
4.(2014·江西，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
5.(2014·江西，3)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A.1 B.2 C.3 D.－1
6.(2014·安徽，9)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A.5或8 B.－1或5
C.－1或－4 D.－4或8
7.(2014·上海，18)设f(x)＝(x-a)2,x≤0x+■+a,x＞0若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A.[－1,2] B.[－1,0]
C.[1,2] D.[0,2]
考点二：函数的基本性质
函数的基本性质是指函数的三大性质：单调性、奇偶性、周期性，这三大性质可单考，也可结合起来考，在考查过程中难度可易可难，综合能力要求较高。
1.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)＝x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)＝－f(x)；当x>■时，f(x+■)＝f(x-■)，则f(6)＝
( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
2.(2015·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
3.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋ex B.y＝x＋■
C.y＝2x＋■ D.y＝■
4.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是
( )
A.y＝■ B.y＝(x－1)2
C.y＝2－x D.y＝log0.5(x＋1)
5.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)＝x■ B.f(x)＝x3
C.f(x)＝x（■）x D.f(x)＝3x
6.(2014·山东，5)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.■>■ B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C.sin x>sin y D.x3>y3
7.(2014·湖南，3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
8.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|g(x)是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
9.(2014·湖北，10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝■(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若 x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A.[-■,■] B.[-■,■]
C.[-■,■] D.[-■,■]
10.(2016·四川，14)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f(-■)＋f(1)＝________.
11.(2016·北京，14)设函数f(x)＝x3-3x,x≤a,-2x，x＞a
(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；
(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________.
12.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
考点三、基本初等函数：
二次函数、幂函数、指数、指数函数、对数、对数函数
初等函数在考查中往往和函数的性质结合起来考，考查力度有难有易，且很多时候和函数图像结合考查，要用数形结合的思想综合考虑。
1.(2016·全国Ⅲ，6)已知a＝2 ，b＝3 ，c＝25 ，则( )
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
2.(2015·四川，9)如果函数f(x)＝■(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间[■,2]上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18 C．25 D.■
3.(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
4．(2014·辽宁，16)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，■－■＋■的最小值为________．
5.(2014·辽宁，3)已知a＝2 ，b＝log2 ■，c＝，则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
6.(2015·山东，14)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
7.(2014·上海，9)若f(x)＝x －x ，则满足f(x)<0的x的取值范围是________.
8.(2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A.奇函数，且在(0,1)上是增函数
B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数
D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
9.(2015·陕西，9)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f(■)，q＝f(■)，r＝■(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q
10.(2014·福建，4)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
11.(2014·天津，4)函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为
( )
A.(0，＋∞) B.(-∞，0) C.(2，＋∞) D.(-∞，－2)
12.(2014·四川，9)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1,1).现有下列命题：①f(－x)＝－f(x)；②f(■)＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
13.(2016·浙江,12)已知a＞b＞1.若loga b＋logb a＝■,ab＝ba,则a＝______，b＝______.
14.(2015·浙江,12)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
15.(2015·福建，14)若函数f(x)＝-x+6,x≤2,3+logax＞2(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
16.(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2■·log■(2x)的最小值为________.
考点四：函数的图像
对函数图像的考查有以下两个方面：
1. 要熟悉高中阶段所有的图像的基本特征和性质；
2. 要清楚函数图像的变换，平移，伸缩，对称，周期等变化；
1.(2016·全国Ⅰ，7)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
2.(2016·全国Ⅱ，12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝■与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则■(xi＋yi)＝( )
A.0 B.m C.2m D.4m
3.(2016·全国Ⅱ，12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝■与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则■(xi＋yi)＝( )
A.0 B.m C.2m D.4m
4.(2015·新课标全国Ⅱ，10)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
5.(2015·安徽，9)函数f(x)＝■的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
6.(2015·北京，7)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1} D.{x|－1＜x≤2}
7. (2014·新课标全国Ⅰ，6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
考点五：函数与方程
函数与方程考零点较多，难度比较大
1.(2015·山东，10)设函数f(x)＝3x-1,x＜1,2x,x≥1则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是( )
A.[■，1] B.[0,1] C.[■,+∞） D.[1, ＋∞)
2.(2015·天津，8)已知函数f(x)=2-|x|,x≤2(x-2)2,x＞2 函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A.(■,+∞) B.(-∞,■) C.(0,■) D.(■,2)
3.(2014·湖南，10)已知函数f(x)＝x2＋ex－■(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A.(-∞,■) B. (-∞,■)
C.(-■,■) D.(-■,■)
4.(2016·山东，15)已知函数f(x)＝|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x＞m其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
5.(2015·湖南，15)已知函数f(x)＝x3,x≤2x2,x＞a若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.
6.(2015·安徽，15)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
7.(2015·江苏，13)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝0,0＜x≤1|x2-4|-2,,x＞a则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
8.(2015·北京，14)设函数f(x)=2x-a,x＜14(x-a)(x-2a),x≥1
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
考点六：函数的模型及综合应用
这是近几年的高考热点，也是高考的大趋势，数学就是要学以至用，到生活中来。
1.(2016·山东,10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y＝sin x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x3
2.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. ■ B.■ C.■ D.■－1
5.(2014·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：
①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)－f(y)|<■|x－y|.
若对所有x,y∈[0,1],|f(x)－f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )
A.■ B.■ C. ■ D.■
6.(2015·四川,13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
考点七：导数的概念及运算
导数的概念与运算是导数这部分的基础题型，主要考察导数的含义，导数运算公式。
1.(2014·大纲全国，7)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于
( )
A.2e B.e C.2 D.1
2.(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2016·全国Ⅲ，15)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
4.(2016·全国Ⅱ，16)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
5.(2015·陕西，15)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝■(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
考点八：导数的应用
导数的应用是高考几乎各省必考内容，难度都很大，要扎实理解，练习才能突破，一方面熟记导数各种公式，另一方面熟悉导数常考的几种类型。
1.(2015·福建,10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1,其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是( )
A.f(■)＜■ B.f(■)＞■
C.f(■)＜■ D.f■＞■
2.(2015·陕西,12)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )
A.－1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y＝f(x)上
3.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(－1)＝0,当x>0时,xf′(x)－f(x)＜0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(－∞,－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1,＋∞)
C.(－∞,－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1,＋∞)
4.(2015·新课标全国Ⅰ,12)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.[-■,1) B.[-■,■) C.[■,■) D.[■,1)
5.(2014·新课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)＝■sin■.若存在f(x)的极值点x0满足x02＋[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )
A.(－∞,－6)∪(6,＋∞) B.(－∞,－4)∪(4,＋∞)
C.(－∞,－2)∪(2,＋∞) D.(－∞,－1)∪(1,＋∞)
6.(2014·辽宁,11)当x∈[－2,1]时,不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[－5,－3] B.[-6,-■] C.[－6,－2] D.[－4,－3]
7.(2016·全国Ⅰ,21)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1＋x2<2.
8.(2016·四川,21)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>■－e1－x在区间(1,＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数).
9.(2015·新课标全国Ⅱ,21)设函数f(x)＝emx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞,0)单调递减,在(0,＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x1,x2∈[－1,1],都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1,求m的取值范围.
10.(2015·四川,21)已知函数f(x)＝－2(x＋a)ln x＋x2－2ax－2a2＋a,其中a＞0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性；
(2)证明：存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,＋∞)内恒成立,且f(x)＝0在区间(1,＋∞)内有唯一解.
11.(2015·天津,20)已知函数f(x)＝nx－xn,x∈R,其中n∈N*,n≥2.
(1)讨论f(x)的单调性； (2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y＝g(x),求证：对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x)；
(3)若关于x的方程f(x)＝a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证：|x2－x1|＜■＋2.
二、函数与导数真题再现
（2014年全国二，理12）设函数f(x)=■sin■.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
A.(-∞,-6) (6,∞) B.(-∞,-4) (4,∞)
C.(-∞,-2) (2,∞) D.(-∞,-1) (4,∞)
（2014年全国二，理15）已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，f(2)=0.若f(x+1)＞0，则的取值范围是__________.
（2014年全国二，理21） 已知函数=f(x)=ex-e-x-2x
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设g(x),f(2x)-4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0,求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜■＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）
（2014年全国二，文3）函数f(x)在x=x0处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是f(x)的极值点，则
（A）p是q的充分必要条件
（B）p是q的充分条件，但不是q的必要条件
（C）p是q的必要条件，但不是 q的充分条件
(D) p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
（2014年全国二，文11）若函数f(x)=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是：
（A）(-∞,-2] （B）(-∞,-1] （C）(2,+∞] （D）(1,+∞]
（2014年全国二，文15）已知函数f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)_______.
（2014年全国二，文21）已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f(x)在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.
（I） 求a；
（II）证明：当时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。
（2015年全国二，理5）设函数f(x)=1+log2(2-x),x＜1,2x-1,x≥1,f(-2)+f(log212)( )
（A）3 （B）6
（C）9 （D）12
（2015年全国二，理10，文11）.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．
将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（ ）
（2015年全国二，理12）设函数f’(x)是奇函数f(x)(x∈R)）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf'(x)-f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是
A.(-∞,-1) (0,1) B.(-1,0) (1,+∞)
C.(-∞,-1) (-1,0) D.(0,1) (1,+∞)
（2015年全国二，理21）．设函数f(x)=emx+x2-mx。
（1）证明：f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范围。
（2015年全国二，文12）. 设函数f(x)=ln(1+|x|)-■,则使得f(x)＞f(2x-1)成立的x的取值范围是（ ）
A．(■,1) B．(-∞,■) (1,+∞)
C．(-■,■) D．(-∞,-■) (■,+∞)
（2015年全国二，文13） 已知函数f(x)=ax3-2x的图像过点（-1,4）,则a= ．
（2015年全国二，文21.）已知f(x)=lnx+a(1-x).
（I）讨论f(x)的单调性；（II）当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
（2016年全国二，理7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移■个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A）x=■-■(k∈Z) （B）x=■-■(k∈Z)
（C）x=■-■(k∈Z) （D）x=■-■(k∈Z)
（2016年全国二，理12）已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=■与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,(y2),…，（xm,ym）,则■(xi+yi)（ ）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
（2016年全国二，理16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= ．
（2016年全国二，理21）
(Ⅰ)讨论函数f(x)=■ex的单调性，并证明当x＞0时，(x-2)ex+x+2＞0；
(Ⅱ)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=■(x＞0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
函数与导数在高考中几乎占据了三分之一的分量，是高考中最重要的板块，希望今天的分析能够帮助到一部分人在高考数学中取得优异成绩或对研究函数与导数的学者一些帮助。
考点一：函数的概念
高考对函数概念的考查常考定义域，值域，对应法则，考查难度一般。
1.(2015·浙江，7)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )
A.f(sin 2x)＝sin x B.f(sin 2x)＝x2＋x
C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|
2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f(x)＝1+log2(2-x)x＜1,2x-1,x≥1则f(－2)＋f(log212)＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
3.(2014·山东，3)函数f(x)＝■的定义域为( )
A.(0,■) B.(2，＋∞)
C.(0,■）∪(2，＋∞) D.(0,■]∪[2，＋∞)
4.(2014·江西，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
5.(2014·江西，3)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A.1 B.2 C.3 D.－1
6.(2014·安徽，9)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A.5或8 B.－1或5
C.－1或－4 D.－4或8
7.(2014·上海，18)设f(x)＝(x-a)2,x≤0x+■+a,x＞0若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A.[－1,2] B.[－1,0]
C.[1,2] D.[0,2]
考点二：函数的基本性质
函数的基本性质是指函数的三大性质：单调性、奇偶性、周期性，这三大性质可单考，也可结合起来考，在考查过程中难度可易可难，综合能力要求较高。
1.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)＝x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)＝－f(x)；当x>■时，f(x+■)＝f(x-■)，则f(6)＝
( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
2.(2015·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
3.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋ex B.y＝x＋■
C.y＝2x＋■ D.y＝■
4.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是
( )
A.y＝■ B.y＝(x－1)2
C.y＝2－x D.y＝log0.5(x＋1)
5.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)＝x■ B.f(x)＝x3
C.f(x)＝x（■）x D.f(x)＝3x
6.(2014·山东，5)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.■>■ B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C.sin x>sin y D.x3>y3
7.(2014·湖南，3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
8.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|g(x)是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
9.(2014·湖北，10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝■(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若 x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A.[-■,■] B.[-■,■]
C.[-■,■] D.[-■,■]
10.(2016·四川，14)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f(-■)＋f(1)＝________.
11.(2016·北京，14)设函数f(x)＝x3-3x,x≤a,-2x，x＞a
(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；
(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________.
12.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
考点三、基本初等函数：
二次函数、幂函数、指数、指数函数、对数、对数函数
初等函数在考查中往往和函数的性质结合起来考，考查力度有难有易，且很多时候和函数图像结合考查，要用数形结合的思想综合考虑。
1.(2016·全国Ⅲ，6)已知a＝2 ，b＝3 ，c＝25 ，则( )
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
2.(2015·四川，9)如果函数f(x)＝■(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间[■,2]上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18 C．25 D.■
3.(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
4．(2014·辽宁，16)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，■－■＋■的最小值为________．
5.(2014·辽宁，3)已知a＝2 ，b＝log2 ■，c＝，则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
6.(2015·山东，14)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
7.(2014·上海，9)若f(x)＝x －x ，则满足f(x)<0的x的取值范围是________.
8.(2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A.奇函数，且在(0,1)上是增函数
B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数
D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
9.(2015·陕西，9)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f(■)，q＝f(■)，r＝■(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q
10.(2014·福建，4)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
11.(2014·天津，4)函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为
( )
A.(0，＋∞) B.(-∞，0) C.(2，＋∞) D.(-∞，－2)
12.(2014·四川，9)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1,1).现有下列命题：①f(－x)＝－f(x)；②f(■)＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
13.(2016·浙江,12)已知a＞b＞1.若loga b＋logb a＝■,ab＝ba,则a＝______，b＝______.
14.(2015·浙江,12)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
15.(2015·福建，14)若函数f(x)＝-x+6,x≤2,3+logax＞2(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
16.(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2■·log■(2x)的最小值为________.
考点四：函数的图像
对函数图像的考查有以下两个方面：
1. 要熟悉高中阶段所有的图像的基本特征和性质；
2. 要清楚函数图像的变换，平移，伸缩，对称，周期等变化；
1.(2016·全国Ⅰ，7)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
2.(2016·全国Ⅱ，12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝■与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则■(xi＋yi)＝( )
A.0 B.m C.2m D.4m
3.(2016·全国Ⅱ，12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝■与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则■(xi＋yi)＝( )
A.0 B.m C.2m D.4m
4.(2015·新课标全国Ⅱ，10)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
5.(2015·安徽，9)函数f(x)＝■的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
6.(2015·北京，7)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1} D.{x|－1＜x≤2}
7. (2014·新课标全国Ⅰ，6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
考点五：函数与方程
函数与方程考零点较多，难度比较大
1.(2015·山东，10)设函数f(x)＝3x-1,x＜1,2x,x≥1则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是( )
A.[■，1] B.[0,1] C.[■,+∞） D.[1, ＋∞)
2.(2015·天津，8)已知函数f(x)=2-|x|,x≤2(x-2)2,x＞2 函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A.(■,+∞) B.(-∞,■) C.(0,■) D.(■,2)
3.(2014·湖南，10)已知函数f(x)＝x2＋ex－■(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A.(-∞,■) B. (-∞,■)
C.(-■,■) D.(-■,■)
4.(2016·山东，15)已知函数f(x)＝|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x＞m其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
5.(2015·湖南，15)已知函数f(x)＝x3,x≤2x2,x＞a若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.
6.(2015·安徽，15)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
7.(2015·江苏，13)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝0,0＜x≤1|x2-4|-2,,x＞a则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
8.(2015·北京，14)设函数f(x)=2x-a,x＜14(x-a)(x-2a),x≥1
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
考点六：函数的模型及综合应用
这是近几年的高考热点，也是高考的大趋势，数学就是要学以至用，到生活中来。
1.(2016·山东,10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y＝sin x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x3
2.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. ■ B.■ C.■ D.■－1
5.(2014·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：
①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)－f(y)|<■|x－y|.
若对所有x,y∈[0,1],|f(x)－f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )
A.■ B.■ C. ■ D.■
6.(2015·四川,13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
考点七：导数的概念及运算
导数的概念与运算是导数这部分的基础题型，主要考察导数的含义，导数运算公式。
1.(2014·大纲全国，7)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于
( )
A.2e B.e C.2 D.1
2.(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2016·全国Ⅲ，15)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
4.(2016·全国Ⅱ，16)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
5.(2015·陕西，15)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝■(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
考点八：导数的应用
导数的应用是高考几乎各省必考内容，难度都很大，要扎实理解，练习才能突破，一方面熟记导数各种公式，另一方面熟悉导数常考的几种类型。
1.(2015·福建,10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1,其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是( )
A.f(■)＜■ B.f(■)＞■
C.f(■)＜■ D.f■＞■
2.(2015·陕西,12)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )
A.－1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y＝f(x)上
3.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(－1)＝0,当x>0时,xf′(x)－f(x)＜0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(－∞,－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1,＋∞)
C.(－∞,－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1,＋∞)
4.(2015·新课标全国Ⅰ,12)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.[-■,1) B.[-■,■) C.[■,■) D.[■,1)
5.(2014·新课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)＝■sin■.若存在f(x)的极值点x0满足x02＋[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )
A.(－∞,－6)∪(6,＋∞) B.(－∞,－4)∪(4,＋∞)
C.(－∞,－2)∪(2,＋∞) D.(－∞,－1)∪(1,＋∞)
6.(2014·辽宁,11)当x∈[－2,1]时,不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[－5,－3] B.[-6,-■] C.[－6,－2] D.[－4,－3]
7.(2016·全国Ⅰ,21)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1＋x2<2.
8.(2016·四川,21)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>■－e1－x在区间(1,＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数).
9.(2015·新课标全国Ⅱ,21)设函数f(x)＝emx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞,0)单调递减,在(0,＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x1,x2∈[－1,1],都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1,求m的取值范围.
10.(2015·四川,21)已知函数f(x)＝－2(x＋a)ln x＋x2－2ax－2a2＋a,其中a＞0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性；
(2)证明：存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,＋∞)内恒成立,且f(x)＝0在区间(1,＋∞)内有唯一解.
11.(2015·天津,20)已知函数f(x)＝nx－xn,x∈R,其中n∈N*,n≥2.
(1)讨论f(x)的单调性； (2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y＝g(x),求证：对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x)；
(3)若关于x的方程f(x)＝a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证：|x2－x1|＜■＋2.
二、函数与导数真题再现
（2014年全国二，理12）设函数f(x)=■sin■.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
A.(-∞,-6) (6,∞) B.(-∞,-4) (4,∞)
C.(-∞,-2) (2,∞) D.(-∞,-1) (4,∞)
（2014年全国二，理15）已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，f(2)=0.若f(x+1)＞0，则的取值范围是__________.
（2014年全国二，理21） 已知函数=f(x)=ex-e-x-2x
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设g(x),f(2x)-4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0,求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜■＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）
（2014年全国二，文3）函数f(x)在x=x0处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是f(x)的极值点，则
（A）p是q的充分必要条件
（B）p是q的充分条件，但不是q的必要条件
（C）p是q的必要条件，但不是 q的充分条件
(D) p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
（2014年全国二，文11）若函数f(x)=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是：
（A）(-∞,-2] （B）(-∞,-1] （C）(2,+∞] （D）(1,+∞]
（2014年全国二，文15）已知函数f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)_______.
（2014年全国二，文21）已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f(x)在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.
（I） 求a；
（II）证明：当时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。
（2015年全国二，理5）设函数f(x)=1+log2(2-x),x＜1,2x-1,x≥1,f(-2)+f(log212)( )
（A）3 （B）6
（C）9 （D）12
（2015年全国二，理10，文11）.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．
将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（ ）
（2015年全国二，理12）设函数f’(x)是奇函数f(x)(x∈R)）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf'(x)-f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是
A.(-∞,-1) (0,1) B.(-1,0) (1,+∞)
C.(-∞,-1) (-1,0) D.(0,1) (1,+∞)
（2015年全国二，理21）．设函数f(x)=emx+x2-mx。
（1）证明：f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范围。
（2015年全国二，文12）. 设函数f(x)=ln(1+|x|)-■,则使得f(x)＞f(2x-1)成立的x的取值范围是（ ）
A．(■,1) B．(-∞,■) (1,+∞)
C．(-■,■) D．(-∞,-■) (■,+∞)
（2015年全国二，文13） 已知函数f(x)=ax3-2x的图像过点（-1,4）,则a= ．
（2015年全国二，文21.）已知f(x)=lnx+a(1-x).
（I）讨论f(x)的单调性；（II）当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
（2016年全国二，理7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移■个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A）x=■-■(k∈Z) （B）x=■-■(k∈Z)
（C）x=■-■(k∈Z) （D）x=■-■(k∈Z)
（2016年全国二，理12）已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=■与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,(y2),…，（xm,ym）,则■(xi+yi)（ ）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
（2016年全国二，理16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= ．
（2016年全国二，理21）
(Ⅰ)讨论函数f(x)=■ex的单调性，并证明当x＞0时，(x-2)ex+x+2＞0；
(Ⅱ)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=■(x＞0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
函数与导数在高考中几乎占据了三分之一的分量，是高考中最重要的板块，希望今天的分析能够帮助到一部分人在高考数学中取得优异成绩或对研究函数与导数的学者一些帮助。
- 【发布时间】2017/12/10 22:09:14
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