2024年10期
谈“孕→生→养”数学生态课堂教学模式构建
【关键词】 数学；课堂教学；
【正文】对于这句话，不同的人有不同的观点。
观点一，“温习学过的东西，继而获得新的东西，这样做便可以当老师了”。这是我们大多数人的理解，也是中学课本学习的论语给出的解释，显然在这里“温故”和“知新”体现出的关系是并列关系。
观点二，“温习已学的知识，并且由其中获得新的领悟，即从过去的知识或经历中“悟”到一些心得，这样做便可以成为别人的表率、楷模”。显然在这里“温故”和“知新”体现出的关系是因果关系。
……
笔者通过多年的课堂教学实践及其研究，更认同观点二，认为此观点对知识的学习具有非常、非常重要的指导作用。只有温故才能知新，新知是旧知的自然生长，新知是旧知的重新组合，故重要的东西并不只是一味的新知、新知、新知，而是在于回归根本。例如0、1、2、……，这10个阿拉伯数字可以组成无数个数；a、b、c、……，这26个英文字母可以组成无数个英文单词；点、横、竖、撇、捺、……等笔画，可以组成无数个汉字；……。这样的例子数不胜数，都体现了“一生二，二生三，三生万物”、“一本万殊”、“万物一理”这样的道理，即最基本的“故”才是一切事物发展的基础、源泉。
美国认知教育心理学家奥苏贝尔说，“如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学”。由于数学知识的连续性非常强，学习的前提都应在已有知识即“故”字上做文章，所以数学知识的学习应本着叶落归根、追根溯源、温故而知新的原则下稳步进行、循序渐进，使知识的发展自然生长、水到渠成、浑然天成。任何问题的解决务必化归到已有知识即“故”上去，真正做到“化未知为已知，化复杂为基本，化混沌为清晰”。
为此我们在“温故而知新”教学思想的引领下，类比新生命的诞生、成长过程：孕→生→养，经过十多年的积极探索，在数学教学实践的基础上，提炼出了数学知识学习过程的“温故孕新——借故生新——培故养新”三环节，借此构建了新知学习的生态课堂教学流程：旧的问题解决，使之温故孕新→新的问题研究，使之借故生新→新旧问题解决，使之培故养新。在这里，“故”是“新”的根本、种子，“新”是“故”的自然发展。故→新→故……，循环发展，其中“故”的作用贯穿始终。所以，在教学中一定要高度重视“故”的作用，不管是在教学内容的选择上，还是在教学目标制定、教学方法选择、教学问题设计，都要充分围绕“故”字做好文章，选准知识的生长点，设计有梯度的问题，为学生的知识学习铺路搭桥，从而培养学生学习数学的浓厚兴趣，提高学生学习数学的综合能力。
一言以蔽之，新知产生需要经过“孕育”、“生产”、“养护”过程，要把新知当做孩子来养活。在这里“新”是“故”的自然发展，“推陈出新”非常重要，但其根基均在“故”，所以重视“已有知识”的培植、加固也是重中之重。“新”与“故”同等重要，不可偏重其一，方能持续发展。
下面笔者就以两节课为例，一节概念课和一节定理课的课堂教学设计，来体现旧知巩固、新知产生的“孕→生→养” 生态课堂教学流程，敬请同仁批评指正。
案例一 初中数学新课标人教版八年级数学
13.1算数平方根（概念课）
一、问题解决，温故孕新
1.问题设计：
（1）化简：a+a+a+a+a=？ ——在这里，加法是乘法的根基。
（2）化简：a×a×a×a×a×a=？——在这里，乘法是乘方的根基。
（3）填空计算，自然生成：（ ）2＝【 】
32＝？， ——在这里，3是平方运算结果9的根基。
42＝？， ——在这里，4是平方运算结果16的根基。
52＝？， ——在这里，5是平方运算结果25的根基。
102＝？， ——在这里，10是平方运算结果100的根基。
…… ……
2.设计说明：类比乘法、乘方运算的发展过程（这也是故），感受乘方运算是开放运算的根基，以此让学生感受引入开方运算的自然性、必要性。此环节重在体现温习相关旧的知识点（乘方），孕含新的知识点即算术平方根。
二、问题研究，借故生新
1.问题设计：
（1）实例感受：像这样，若52＝25，我们就把5叫做25的算术平方根。
（2）定义得出：一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定，0的算术平方根是0。
（3）表示引入：（ ）2＝ 4 ，——也就是说，4的算术平方根为2。
（ ）2＝ 36，——也就是说，36的算术平方根为6。
（ ）2＝ 81，——也就是说，81的算术平方根为9。
（ ）2＝ 10，——那么，10的算术平方根为什么呢？如何表示呢？
…… ……
像这样，若（ ）2＝10，那么（ ）就是10的算术平方根，用符号■表示，即（■）2＝10。
一般的，若x2＝a（x＞0，a＞0），则正数x叫做a的算术平方根，记作x＝■。
2.设计说明：借乘方运算（如52＝25），产生新知即算术平方根（把5叫做25的算术平方根）。借助10的算术平方根如何表示，产生新知即10的算术平方根的表示方法。新知产生自然，有水到渠成之感。
三、问题解决，培故养新
1.问题设计：
（1）求下列各数的算术平方根：81，1，■， 3， 3。
（2）下列式子表示什么意义? 你能求出它们的值吗?
■， ■， ■， ■。
（3）■的值为 ，■的算术平方根是 。
2.设计说明：通过以上三个问题的设计，即有意识的去复习乘方运算的知识（培故），还巩固了本节所学的算术平方根的概念以及表示方法（养新），新旧知识的学习真正达到了培育旧知、养育新知之目的。
案例二 初中数学新课标人教版八年级数学
11.2三角形全等的判定(三)（定理课）
一、问题解决，温故孕新
1.问题设计：已知∠1、∠2（如图），线段m。求作：△ABC,使AB＝m，∠A＝∠1,∠B＝∠2。
2.设计说明：本节课要学习的内容是三角形全等的判定方法ASA，通过以上作图问题的解决，既复习了做一个角等于已知角的做法这一旧知（温故），又孕含着所做三角形能够完全重合的情形以及重合的前提条件（孕新）。新旧知识的学习看上去是“指东打西”，实则真正自然达到了“随风潜入夜，润物细无声”、“只问耕耘，莫问收获”之功效。
二、问题研究，借故生新
1.问题设计：请同学们对照你们所画的三角形，它们能够完全重合吗？重合的前提条件是什么？类比你的以前所学的三角形全等判定方法能得出什么结论？
2.设计说明：借助所做三角形能够完全重合的情形、类比所学三角形全等判定定理的得出过程（借故）,自然生成了三角形全等的判定方法ASA（生新）。新知识的学习看上去是 “歪打正着”，实则真正自然达到了“众里寻他千百度，眸然回首，那人却在灯火阑珊处”、“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”之功效。
三、问题解决，培故养新
1.问题设计：
（1）如图1，若点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C。求证：AD＝AE 。
（2）如图2，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC＝AD .
2.设计说明：通过两个问题的设计，即有意识的去复习公共角（边）相等、三角形中外角与内角的关系、全等三角形的性质等内容（培故），还运用了本节所学三角形全等的判定方法ASA解决了问题（养新），新旧知识的学习真正达到了培育旧知、养育新知之目的.
我们把这样的生态数学课，不妨就叫做“温故生新课”，新知在复习旧知的过程中自然生成.此课堂教学模式不管是概念课，还是定理、法则课等，只要是新授课都能使用.在这里的“故”，是指学生已有的基础知识、基本技能、基本的活动经验、基本的思想方法即“四基”等等.我们在学习新知时，一定要借助于“故”；我们在运用新知时，更不能忘记“故”.只有这样，才能更好地学好数学.“温故生新课”的教学理念，重点在“故”字上做文章，若“新”是初春的嫩芽，而“故”则象是整整一个漫长冬天积蕴了力量的枝体，有了厚积的“故”，才有薄发的“新”，这样的“新”才会有勃勃生机，才会被学生内化吸收为自己的东西，才会掌控自如.
下面结合以上两个事例谈一谈“温故生新课”即“孕→生→养” 生态课堂教学模式构建的具体流程及其要求.
1.问题解决，温故孕新.设置需要解决的问题，复习相关的旧知，孕含将要学习的新知. 通过问题解决，调动学生学习的积极性，激发思维碰撞，先声夺人，为后续教学活动做好铺垫.根据新的教学内容，选准知识的生长点，提出针对性的问题，做好“温何故，孕何新”的文章，突出对数学知识本源的把握.
这一环节，起始看似只问耕耘不问收获，实则蓄势待发、厚积薄发.
2.问题研究，借故生新.根据问题的特征，类比所学或已有知识、方法、经验等，借助旧知这一生长点，，并对新知特征作相关的研究，及时提炼、形成新知，使新知在不知觉之中自然生成.在此理念下，新知的产生想堵都堵不住，想摁都摁不下.
这一环节，在教学中易产生“众立寻她千百度，默然回首，那人却在灯火阑珊处”之美感，使人豁然开朗.
3.问题解决，培故养新.培故，即加固已学的知识，为后续知识的发展打好基础.养新，即保养、涵养、蓄养新知，使其很快纳入已有的知识系统系统之中.本环节通过问题设置与解决，进一步达到灵活运用旧知新知、巩固旧知新知之目的.
这一环节，重在体现新旧知识学习并重，培育旧知，养育新知，力求 “学而时习之”.
试想，若每位教师有此“温故而知新”的思想，运用“温故生新课”即“孕→生→养” 生态课堂教学模式进行教学，课程内容有必要快速完成吗？特别是毕业班的教学，若能“学而时习之”，学生学习就不会出现“夹生饭”，“两级分化现象”就会避免，“大面积提高教学质量” 就会指日可待，“学生减负”就会得到有效落实，“自由的时空”就会自然还给学生，学生的“综合素养”就会得到自然提升.
以上是笔者对“温故生新课”即“孕→生→养” 生态课堂教学模式构建的实践体会与认识，不当之处敬请同仁批评指正、不吝赐教.
参考文献：
[1]数学课程标准2011版关于“四基”的描述.
[2]论语：“温故而知新”，“学而时习之”.
[3]奥苏贝尔著《认知结构与有意义言语学习的促进作用》.
[4]刘绍学，新课标人教高中数学教材A版前言部分.
观点一，“温习学过的东西，继而获得新的东西，这样做便可以当老师了”。这是我们大多数人的理解，也是中学课本学习的论语给出的解释，显然在这里“温故”和“知新”体现出的关系是并列关系。
观点二，“温习已学的知识，并且由其中获得新的领悟，即从过去的知识或经历中“悟”到一些心得，这样做便可以成为别人的表率、楷模”。显然在这里“温故”和“知新”体现出的关系是因果关系。
……
笔者通过多年的课堂教学实践及其研究，更认同观点二，认为此观点对知识的学习具有非常、非常重要的指导作用。只有温故才能知新，新知是旧知的自然生长，新知是旧知的重新组合，故重要的东西并不只是一味的新知、新知、新知，而是在于回归根本。例如0、1、2、……，这10个阿拉伯数字可以组成无数个数；a、b、c、……，这26个英文字母可以组成无数个英文单词；点、横、竖、撇、捺、……等笔画，可以组成无数个汉字；……。这样的例子数不胜数，都体现了“一生二，二生三，三生万物”、“一本万殊”、“万物一理”这样的道理，即最基本的“故”才是一切事物发展的基础、源泉。
美国认知教育心理学家奥苏贝尔说，“如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学”。由于数学知识的连续性非常强，学习的前提都应在已有知识即“故”字上做文章，所以数学知识的学习应本着叶落归根、追根溯源、温故而知新的原则下稳步进行、循序渐进，使知识的发展自然生长、水到渠成、浑然天成。任何问题的解决务必化归到已有知识即“故”上去，真正做到“化未知为已知，化复杂为基本，化混沌为清晰”。
为此我们在“温故而知新”教学思想的引领下，类比新生命的诞生、成长过程：孕→生→养，经过十多年的积极探索，在数学教学实践的基础上，提炼出了数学知识学习过程的“温故孕新——借故生新——培故养新”三环节，借此构建了新知学习的生态课堂教学流程：旧的问题解决，使之温故孕新→新的问题研究，使之借故生新→新旧问题解决，使之培故养新。在这里，“故”是“新”的根本、种子，“新”是“故”的自然发展。故→新→故……，循环发展，其中“故”的作用贯穿始终。所以，在教学中一定要高度重视“故”的作用，不管是在教学内容的选择上，还是在教学目标制定、教学方法选择、教学问题设计，都要充分围绕“故”字做好文章，选准知识的生长点，设计有梯度的问题，为学生的知识学习铺路搭桥，从而培养学生学习数学的浓厚兴趣，提高学生学习数学的综合能力。
一言以蔽之，新知产生需要经过“孕育”、“生产”、“养护”过程，要把新知当做孩子来养活。在这里“新”是“故”的自然发展，“推陈出新”非常重要，但其根基均在“故”，所以重视“已有知识”的培植、加固也是重中之重。“新”与“故”同等重要，不可偏重其一，方能持续发展。
下面笔者就以两节课为例，一节概念课和一节定理课的课堂教学设计，来体现旧知巩固、新知产生的“孕→生→养” 生态课堂教学流程，敬请同仁批评指正。
案例一 初中数学新课标人教版八年级数学
13.1算数平方根（概念课）
一、问题解决，温故孕新
1.问题设计：
（1）化简：a+a+a+a+a=？ ——在这里，加法是乘法的根基。
（2）化简：a×a×a×a×a×a=？——在这里，乘法是乘方的根基。
（3）填空计算，自然生成：（ ）2＝【 】
32＝？， ——在这里，3是平方运算结果9的根基。
42＝？， ——在这里，4是平方运算结果16的根基。
52＝？， ——在这里，5是平方运算结果25的根基。
102＝？， ——在这里，10是平方运算结果100的根基。
…… ……
2.设计说明：类比乘法、乘方运算的发展过程（这也是故），感受乘方运算是开放运算的根基，以此让学生感受引入开方运算的自然性、必要性。此环节重在体现温习相关旧的知识点（乘方），孕含新的知识点即算术平方根。
二、问题研究，借故生新
1.问题设计：
（1）实例感受：像这样，若52＝25，我们就把5叫做25的算术平方根。
（2）定义得出：一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定，0的算术平方根是0。
（3）表示引入：（ ）2＝ 4 ，——也就是说，4的算术平方根为2。
（ ）2＝ 36，——也就是说，36的算术平方根为6。
（ ）2＝ 81，——也就是说，81的算术平方根为9。
（ ）2＝ 10，——那么，10的算术平方根为什么呢？如何表示呢？
…… ……
像这样，若（ ）2＝10，那么（ ）就是10的算术平方根，用符号■表示，即（■）2＝10。
一般的，若x2＝a（x＞0，a＞0），则正数x叫做a的算术平方根，记作x＝■。
2.设计说明：借乘方运算（如52＝25），产生新知即算术平方根（把5叫做25的算术平方根）。借助10的算术平方根如何表示，产生新知即10的算术平方根的表示方法。新知产生自然，有水到渠成之感。
三、问题解决，培故养新
1.问题设计：
（1）求下列各数的算术平方根：81，1，■， 3， 3。
（2）下列式子表示什么意义? 你能求出它们的值吗?
■， ■， ■， ■。
（3）■的值为 ，■的算术平方根是 。
2.设计说明：通过以上三个问题的设计，即有意识的去复习乘方运算的知识（培故），还巩固了本节所学的算术平方根的概念以及表示方法（养新），新旧知识的学习真正达到了培育旧知、养育新知之目的。
案例二 初中数学新课标人教版八年级数学
11.2三角形全等的判定(三)（定理课）
一、问题解决，温故孕新
1.问题设计：已知∠1、∠2（如图），线段m。求作：△ABC,使AB＝m，∠A＝∠1,∠B＝∠2。
2.设计说明：本节课要学习的内容是三角形全等的判定方法ASA，通过以上作图问题的解决，既复习了做一个角等于已知角的做法这一旧知（温故），又孕含着所做三角形能够完全重合的情形以及重合的前提条件（孕新）。新旧知识的学习看上去是“指东打西”，实则真正自然达到了“随风潜入夜，润物细无声”、“只问耕耘，莫问收获”之功效。
二、问题研究，借故生新
1.问题设计：请同学们对照你们所画的三角形，它们能够完全重合吗？重合的前提条件是什么？类比你的以前所学的三角形全等判定方法能得出什么结论？
2.设计说明：借助所做三角形能够完全重合的情形、类比所学三角形全等判定定理的得出过程（借故）,自然生成了三角形全等的判定方法ASA（生新）。新知识的学习看上去是 “歪打正着”，实则真正自然达到了“众里寻他千百度，眸然回首，那人却在灯火阑珊处”、“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”之功效。
三、问题解决，培故养新
1.问题设计：
（1）如图1，若点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C。求证：AD＝AE 。
（2）如图2，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC＝AD .
2.设计说明：通过两个问题的设计，即有意识的去复习公共角（边）相等、三角形中外角与内角的关系、全等三角形的性质等内容（培故），还运用了本节所学三角形全等的判定方法ASA解决了问题（养新），新旧知识的学习真正达到了培育旧知、养育新知之目的.
我们把这样的生态数学课，不妨就叫做“温故生新课”，新知在复习旧知的过程中自然生成.此课堂教学模式不管是概念课，还是定理、法则课等，只要是新授课都能使用.在这里的“故”，是指学生已有的基础知识、基本技能、基本的活动经验、基本的思想方法即“四基”等等.我们在学习新知时，一定要借助于“故”；我们在运用新知时，更不能忘记“故”.只有这样，才能更好地学好数学.“温故生新课”的教学理念，重点在“故”字上做文章，若“新”是初春的嫩芽，而“故”则象是整整一个漫长冬天积蕴了力量的枝体，有了厚积的“故”，才有薄发的“新”，这样的“新”才会有勃勃生机，才会被学生内化吸收为自己的东西，才会掌控自如.
下面结合以上两个事例谈一谈“温故生新课”即“孕→生→养” 生态课堂教学模式构建的具体流程及其要求.
1.问题解决，温故孕新.设置需要解决的问题，复习相关的旧知，孕含将要学习的新知. 通过问题解决，调动学生学习的积极性，激发思维碰撞，先声夺人，为后续教学活动做好铺垫.根据新的教学内容，选准知识的生长点，提出针对性的问题，做好“温何故，孕何新”的文章，突出对数学知识本源的把握.
这一环节，起始看似只问耕耘不问收获，实则蓄势待发、厚积薄发.
2.问题研究，借故生新.根据问题的特征，类比所学或已有知识、方法、经验等，借助旧知这一生长点，，并对新知特征作相关的研究，及时提炼、形成新知，使新知在不知觉之中自然生成.在此理念下，新知的产生想堵都堵不住，想摁都摁不下.
这一环节，在教学中易产生“众立寻她千百度，默然回首，那人却在灯火阑珊处”之美感，使人豁然开朗.
3.问题解决，培故养新.培故，即加固已学的知识，为后续知识的发展打好基础.养新，即保养、涵养、蓄养新知，使其很快纳入已有的知识系统系统之中.本环节通过问题设置与解决，进一步达到灵活运用旧知新知、巩固旧知新知之目的.
这一环节，重在体现新旧知识学习并重，培育旧知，养育新知，力求 “学而时习之”.
试想，若每位教师有此“温故而知新”的思想，运用“温故生新课”即“孕→生→养” 生态课堂教学模式进行教学，课程内容有必要快速完成吗？特别是毕业班的教学，若能“学而时习之”，学生学习就不会出现“夹生饭”，“两级分化现象”就会避免，“大面积提高教学质量” 就会指日可待，“学生减负”就会得到有效落实，“自由的时空”就会自然还给学生，学生的“综合素养”就会得到自然提升.
以上是笔者对“温故生新课”即“孕→生→养” 生态课堂教学模式构建的实践体会与认识，不当之处敬请同仁批评指正、不吝赐教.
参考文献：
[1]数学课程标准2011版关于“四基”的描述.
[2]论语：“温故而知新”，“学而时习之”.
[3]奥苏贝尔著《认知结构与有意义言语学习的促进作用》.
[4]刘绍学，新课标人教高中数学教材A版前言部分.
- 【发布时间】2018/7/30 18:33:00
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