2024年10期
浅谈习题教学对初中学生数学解题能力的培养
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：初中的数学教学离不开习题，习题教学在培养学生的解题能力中起着非常重要的作用。该文从设隐含条件，巧用定势因素，探究程序，编拟一题多解以及研究习题等方面培养学生数学解题能力进行了简要的阐述。
关键词：隐含条件；定势因素；创造能力；求异思维；类推能力
问题是数学的心脏，而解题是解决数学问题的关键。解题不仅有利于学生复习，有利于学生解题思路的开拓、思维的启迪和探究问题能力的培养，而且还可以巩固和加深所学的知识，充分发挥教材的作用，培养学生认识知识、发现知识、改造世界的意识能力。现在就习题教学对初中学生数学解题能力的培养这个问题谈谈自己的一些看法。
一、设隐含条件，培养审题能力
审题是解题的基础，要提高解题能力，首先在于培养认真审题的习惯，而训练这种习惯的最有效手段，是在平常训练中设置一些隐含条件的习题让学生练习，通过练习，让学生加深理解，从而提高解题能力。
例1、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC= ( )
A.■ B.2 C.3 D.■+2
【解题指南】根据直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,可求得BD的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到DE=DC,从而可求出BC的长.
【解析】选C.∵DE⊥AB于点E,DE=1,∠B=30°,
∴BD=2,∵AD是角平分线,DE⊥AB于点E,∠C=90°,
∴DE=DC=1,∴BC=BD+DC=3.
由上可见，在编拟习题时，将一个或多个隐含条件巧置在题设，或解题过程中，让学生从错误中得到教训，提高审题能力，培养学生思维的批判性。
二、巧用定势因素，培养抗干扰机智能力
在教学中，我们发现学生常受思维定势的影响，面对新的问题情境，缺乏求异意识，表现出解题过程中生搬硬套，张冠李戴等错误现象，反映了学生思维狭窄不灵活，因此，我们应该抓住学生常受干扰的那些思维定势的消极影响，编拟一些“形似神异”的题目让学生练习，从中发现错误，剖析错误，及时转向，找到正确解法，必将收到培养学生思维灵活性的好效果。
例2、解方程：■+■=2．
【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．但学生去分母时，方程右边的2漏乘最简公分母。正确解题如下：
解：去分母，得3（x+1）+2x（x-1）=2（x-1）（x+1）．
去括号，得3x+3+2x2-2x=2x2-2．
解得x=-5．
经检验：当x=-5时，（x+1）（x-1）=24≠0．
∴原方程的解是x=-5．
【点评】考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
受思维定势的影响还表现在：照般自己习惯程序、已有经验，缺乏对不同问题作深入细致的分析，而造成方法不当，产生解题或论证错误等。
三、探究程序，培养创造能力
教师在教学过程中紧密结合数学的基本规律，引导学生积极去探索科学的基本规律，为此编拟出适合学生的研究过程，创设情景，让学生理解知识的发生发展过程，从而培养其创造能力。
例3、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的周长32m或（20+4■）m或■m．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．
②如图2，当AB=BD=10时，
∵BC=6m，
∴CD=10﹣6=4m，
∴AD=■=■=4■m，
∴△ABD的周长=10+10+4■=（20+4■）m．
③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：AD=■=x
解得，x=■，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=■m．
故答案为：32m或（20+4■）m或■m．
通过本题训练，其一、能使学生牢固掌握命题本质及解决的方法。其二、能激发学生积极探究新问题，从而使学生把书本知识学深、学透、学活。三、能训练学生养成钻研问题、探究规律的好习惯，提高其创造能力。
四、编拟一题多解，培养求异思维能力
求异思维亦称为发散思维，它是从各方面寻求答案的心理过程，在教学中有目的、有计划地设置一题多解的题目，能有效地对学生进行求异思维的训练，多方面地开拓学生的思路。如在上面的变式训练中，就可以进行一题多解。
例4、已知,如图所示, AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.
有如下解题思路：
解法一：
【证明】连接AD,
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD是∠EAF的平分线,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
解法二：
【证明】证△ABD≌△ACD得∠ACD=∠ABD,
∴∠DCF=∠DBE.
又∵∠DFC=∠DEB=90°,DC=DB.
∴△DFC≌△DEB,∴DE=DF.
现代认知科学的研究表明：一题多解，可培养学生求异思维能力，沟通知识的内在联系，引导学生动用一题多变的方法可培养学生思维的灵活性及应变能力。由此，使学生广阔地展开思路，促使学生大胆探索，勇于创造，使学生思维多向发展。
五、研究习题，培养类推能力
研究习题的主要目的是掌握新知识，解决新问题。学生做完习题后，就要正确引导学生归类总结，诱导学生从辩误中悟出真知，这有利于发展学生个性，挖掘潜能，培养解题能力，掌握类推能力。
例5、观察下列各式：■ =2■， ■=3■，■ =4■，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来■=(n+1)■．
【解答】解：■ =（1+1）■ =2■，
■=（2+1）■=3■，
■=（3+1）■=4■，
…
■=(n+1)■，
故答案为：■=(n+1)■．
通过以上习题的解决，学生解题思路开阔了，能够掌握了几种类型题的解题技巧，提高了学生解决习题的能力。我们只有在命题和习题教学各个环节中，重视能力中各种因素的开发，就一定能够提高学生的数学能力。通过以学生为主体的课本习题的探究教学，不但引导学生认真钻研课本习题，发展个性，挖掘潜能，而且使学生“举一反三”，提高学生的以不变应万变、融会贯通的能力，培养学生积极探索的科学创造精神。
参考文献：
[1]田载今、薛林、李海东《数学八下教师教学用书》.2014年
[2]林群《数学研究》.2000年
[3]中华人民共和国教育部《义务教育数学课程标准》北京师范大学出版社.2012年
关键词：隐含条件；定势因素；创造能力；求异思维；类推能力
问题是数学的心脏，而解题是解决数学问题的关键。解题不仅有利于学生复习，有利于学生解题思路的开拓、思维的启迪和探究问题能力的培养，而且还可以巩固和加深所学的知识，充分发挥教材的作用，培养学生认识知识、发现知识、改造世界的意识能力。现在就习题教学对初中学生数学解题能力的培养这个问题谈谈自己的一些看法。
一、设隐含条件，培养审题能力
审题是解题的基础，要提高解题能力，首先在于培养认真审题的习惯，而训练这种习惯的最有效手段，是在平常训练中设置一些隐含条件的习题让学生练习，通过练习，让学生加深理解，从而提高解题能力。
例1、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC= ( )
A.■ B.2 C.3 D.■+2
【解题指南】根据直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,可求得BD的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到DE=DC,从而可求出BC的长.
【解析】选C.∵DE⊥AB于点E,DE=1,∠B=30°,
∴BD=2,∵AD是角平分线,DE⊥AB于点E,∠C=90°,
∴DE=DC=1,∴BC=BD+DC=3.
由上可见，在编拟习题时，将一个或多个隐含条件巧置在题设，或解题过程中，让学生从错误中得到教训，提高审题能力，培养学生思维的批判性。
二、巧用定势因素，培养抗干扰机智能力
在教学中，我们发现学生常受思维定势的影响，面对新的问题情境，缺乏求异意识，表现出解题过程中生搬硬套，张冠李戴等错误现象，反映了学生思维狭窄不灵活，因此，我们应该抓住学生常受干扰的那些思维定势的消极影响，编拟一些“形似神异”的题目让学生练习，从中发现错误，剖析错误，及时转向，找到正确解法，必将收到培养学生思维灵活性的好效果。
例2、解方程：■+■=2．
【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．但学生去分母时，方程右边的2漏乘最简公分母。正确解题如下：
解：去分母，得3（x+1）+2x（x-1）=2（x-1）（x+1）．
去括号，得3x+3+2x2-2x=2x2-2．
解得x=-5．
经检验：当x=-5时，（x+1）（x-1）=24≠0．
∴原方程的解是x=-5．
【点评】考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
受思维定势的影响还表现在：照般自己习惯程序、已有经验，缺乏对不同问题作深入细致的分析，而造成方法不当，产生解题或论证错误等。
三、探究程序，培养创造能力
教师在教学过程中紧密结合数学的基本规律，引导学生积极去探索科学的基本规律，为此编拟出适合学生的研究过程，创设情景，让学生理解知识的发生发展过程，从而培养其创造能力。
例3、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的周长32m或（20+4■）m或■m．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．
②如图2，当AB=BD=10时，
∵BC=6m，
∴CD=10﹣6=4m，
∴AD=■=■=4■m，
∴△ABD的周长=10+10+4■=（20+4■）m．
③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：AD=■=x
解得，x=■，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=■m．
故答案为：32m或（20+4■）m或■m．
通过本题训练，其一、能使学生牢固掌握命题本质及解决的方法。其二、能激发学生积极探究新问题，从而使学生把书本知识学深、学透、学活。三、能训练学生养成钻研问题、探究规律的好习惯，提高其创造能力。
四、编拟一题多解，培养求异思维能力
求异思维亦称为发散思维，它是从各方面寻求答案的心理过程，在教学中有目的、有计划地设置一题多解的题目，能有效地对学生进行求异思维的训练，多方面地开拓学生的思路。如在上面的变式训练中，就可以进行一题多解。
例4、已知,如图所示, AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.
有如下解题思路：
解法一：
【证明】连接AD,
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD是∠EAF的平分线,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
解法二：
【证明】证△ABD≌△ACD得∠ACD=∠ABD,
∴∠DCF=∠DBE.
又∵∠DFC=∠DEB=90°,DC=DB.
∴△DFC≌△DEB,∴DE=DF.
现代认知科学的研究表明：一题多解，可培养学生求异思维能力，沟通知识的内在联系，引导学生动用一题多变的方法可培养学生思维的灵活性及应变能力。由此，使学生广阔地展开思路，促使学生大胆探索，勇于创造，使学生思维多向发展。
五、研究习题，培养类推能力
研究习题的主要目的是掌握新知识，解决新问题。学生做完习题后，就要正确引导学生归类总结，诱导学生从辩误中悟出真知，这有利于发展学生个性，挖掘潜能，培养解题能力，掌握类推能力。
例5、观察下列各式：■ =2■， ■=3■，■ =4■，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来■=(n+1)■．
【解答】解：■ =（1+1）■ =2■，
■=（2+1）■=3■，
■=（3+1）■=4■，
…
■=(n+1)■，
故答案为：■=(n+1)■．
通过以上习题的解决，学生解题思路开阔了，能够掌握了几种类型题的解题技巧，提高了学生解决习题的能力。我们只有在命题和习题教学各个环节中，重视能力中各种因素的开发，就一定能够提高学生的数学能力。通过以学生为主体的课本习题的探究教学，不但引导学生认真钻研课本习题，发展个性，挖掘潜能，而且使学生“举一反三”，提高学生的以不变应万变、融会贯通的能力，培养学生积极探索的科学创造精神。
参考文献：
[1]田载今、薛林、李海东《数学八下教师教学用书》.2014年
[2]林群《数学研究》.2000年
[3]中华人民共和国教育部《义务教育数学课程标准》北京师范大学出版社.2012年
- 【发布时间】2018/12/4 20:09:07
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