2025年02期
例谈等腰三角形中的分类讨论
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，基于其特殊性，大家在解决问题的过程中，要对于给定条件的可能性，画出不同的三角形，从而得出不同结果，这也是很多学生在解这些问题时，经常容易出现错误的地方。因此，在求解有关等腰三角形的问题时有必要进行分类讨论。
关键字：等腰三角形；分类讨论思想
等腰三角形的分类讨论题型在初中数学学习中屡见不鲜，在各个学年的期末考试及中考中出现的频率也一直很高，可在填空选择题出现，也可在综合题中出现，但学生对这类问题总是不懂要分类或不知如何分类或分类不全出现漏解、错解的现象， 那么等腰三角形什么情况下要考虑分类，又该如何进行分类，现举例如下：
一、讨论边长的不确定性
例1.若等腰三角形的一边长为6，另一边长为11，则它的周长为 。
简析：已知条件中并没有指明6和11谁是腰长谁是底边的长，因此要对边分类讨论。当6是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是11，则此时等腰三角形的周长等于23；当11是腰长时，这个三角形的底边长就是6，则此时周长等于28。故这个等腰三角形的周长等于23或28。
变式：若等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为 。
本题6为腰时6、6、13不满足三边关系，故只能13为腰，周长为32
说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应分两类讨论，但必须考虑三边满足三角形三边关系。
二、讨论角的不确定性
例2.已知等腰三角形的一个内角为70°则其底角为 。
简析：70°角可能是顶角，也可能是底角。当70°是底角时，则底角的度数就等于70°；当70°角是顶角时，则底角的度数就等于55°。所以这个等腰三角形的底角为70°或55°。
变式：已知等腰三角形的一个内角为110°则其底角为
。
此时110°不能为底角，否则不满足三角形内角和定理，所以110°只能为顶角，底角为35°
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，？但必须考虑三个内角满足三角形内角和定理。
三、讨论高的不确定性
例3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的顶角的度数.
解：①如图1当为锐角三角形时，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；
②如图2当为钝角三角形时，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，可以得等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．
四、讨论中线的不确定性
例4.在等腰三角形ABC中，AB=AC，腰AC上的中线将ΔABC的周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 。
解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21-x=21-5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长为8或16．
五、遇中垂线需讨论
例5.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=_________。
简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=■(180°-40°)=70°。
如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=■(180°-140°)=20°。
故这个等腰三角形的底角为70°或20°。
说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。
六、和方程问题的综合讨论
例6.已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC长为5。k为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。
简析：若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0可化为(x-k-2)(x-k-1)=0，即x1=k+2,x2=k+1，显然x1≠x2，即AB≠AC。当AB=BC或AC=BC时，5是方程方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根。当x=5时，代入原方程方程k2-7k+12=0可得，解得k1=3,k2=4。
当k=3时，原方程的解为x1=5,x2=5，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，4，周长为14。当k=4时，原方程的解为x1=6,x2=5，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，6，周长为16。
所以当k=3或k=4时，ΔABC是等腰三角形，周长分别为14或16。
七、讨论动点的不确定性
例7在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），B（0，6），动点C在直线上，若A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则符合题意的点C的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
简析：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=6-2=4，
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为6×■=3■
∵3■＞4
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．
故选B．
八、综合性题目中等腰三角形的分类讨论
例8.如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．
（1）求点E．F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a(x-m-6)2+h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a．h．m的值．
解析：分析：（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF＝AD＝10，EF＝DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；
（2）分三种情况讨论：若AO＝AF，OF＝FA，AO＝OF，利用勾股定理求出即可；
（3）由E（m＋10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，设抛物线对称轴交AD于点G，即可利用△AOB∽△AMG，求出m的值。
参考文献：
[1] 黄细把.条件模糊的等腰三角形问题[J].中学生数学，2013（1）：14.
作者简介：张伙红（1973-），女，福建省三明市宁化县人，本科学历，中学数学高级教师，主要从事初中数学教学研究。
关键字：等腰三角形；分类讨论思想
等腰三角形的分类讨论题型在初中数学学习中屡见不鲜，在各个学年的期末考试及中考中出现的频率也一直很高，可在填空选择题出现，也可在综合题中出现，但学生对这类问题总是不懂要分类或不知如何分类或分类不全出现漏解、错解的现象， 那么等腰三角形什么情况下要考虑分类，又该如何进行分类，现举例如下：
一、讨论边长的不确定性
例1.若等腰三角形的一边长为6，另一边长为11，则它的周长为 。
简析：已知条件中并没有指明6和11谁是腰长谁是底边的长，因此要对边分类讨论。当6是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是11，则此时等腰三角形的周长等于23；当11是腰长时，这个三角形的底边长就是6，则此时周长等于28。故这个等腰三角形的周长等于23或28。
变式：若等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为 。
本题6为腰时6、6、13不满足三边关系，故只能13为腰，周长为32
说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应分两类讨论，但必须考虑三边满足三角形三边关系。
二、讨论角的不确定性
例2.已知等腰三角形的一个内角为70°则其底角为 。
简析：70°角可能是顶角，也可能是底角。当70°是底角时，则底角的度数就等于70°；当70°角是顶角时，则底角的度数就等于55°。所以这个等腰三角形的底角为70°或55°。
变式：已知等腰三角形的一个内角为110°则其底角为
。
此时110°不能为底角，否则不满足三角形内角和定理，所以110°只能为顶角，底角为35°
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，？但必须考虑三个内角满足三角形内角和定理。
三、讨论高的不确定性
例3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的顶角的度数.
解：①如图1当为锐角三角形时，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；
②如图2当为钝角三角形时，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，可以得等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．
四、讨论中线的不确定性
例4.在等腰三角形ABC中，AB=AC，腰AC上的中线将ΔABC的周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 。
解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21-x=21-5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长为8或16．
五、遇中垂线需讨论
例5.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=_________。
简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=■(180°-40°)=70°。
如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=■(180°-140°)=20°。
故这个等腰三角形的底角为70°或20°。
说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。
六、和方程问题的综合讨论
例6.已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC长为5。k为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。
简析：若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0可化为(x-k-2)(x-k-1)=0，即x1=k+2,x2=k+1，显然x1≠x2，即AB≠AC。当AB=BC或AC=BC时，5是方程方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根。当x=5时，代入原方程方程k2-7k+12=0可得，解得k1=3,k2=4。
当k=3时，原方程的解为x1=5,x2=5，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，4，周长为14。当k=4时，原方程的解为x1=6,x2=5，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，6，周长为16。
所以当k=3或k=4时，ΔABC是等腰三角形，周长分别为14或16。
七、讨论动点的不确定性
例7在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），B（0，6），动点C在直线上，若A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则符合题意的点C的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
简析：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=6-2=4，
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为6×■=3■
∵3■＞4
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．
故选B．
八、综合性题目中等腰三角形的分类讨论
例8.如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．
（1）求点E．F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a(x-m-6)2+h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a．h．m的值．
解析：分析：（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF＝AD＝10，EF＝DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；
（2）分三种情况讨论：若AO＝AF，OF＝FA，AO＝OF，利用勾股定理求出即可；
（3）由E（m＋10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，设抛物线对称轴交AD于点G，即可利用△AOB∽△AMG，求出m的值。
参考文献：
[1] 黄细把.条件模糊的等腰三角形问题[J].中学生数学，2013（1）：14.
作者简介：张伙红（1973-），女，福建省三明市宁化县人，本科学历，中学数学高级教师，主要从事初中数学教学研究。
- 【发布时间】2019/7/3 14:50:24
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