2025年02期
数学延展性练习的教学设计与操作
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：延展性教学是在教学过程中，对知识进行拓展与延伸的教学。这里我们感兴趣的是数学教学中的延展性练习教学，并在王名扬等提出的“三象一作过程”（即数学现象—心象—抽象—操作过程）的基础上如何通过数学延展性练习的设计与操作，发展数学新知识，提升学生的似真推理能力与演绎推理能力融会贯通的综合思维能力。
关键词：数学练习；延展性教学；三象一作过程；合情推理；演绎推理；融会贯通
一、相关概念界定
（一）延展性。
其实所谓延展性是指物质的一种物理属性，指可锤炼可压延程度。物体在外力作用下能延伸成细丝而不断裂的性质叫延性，在外力（锤击或滚轧）作用能碾成薄片而不破裂的性质叫展性。延展性也可形容一个人的品质与能力，某人延展性强是指他可塑性强，可以胜任多种角色或者多个工种。下面，我们尝试给出延展性教学的一个界定，而我们感兴趣的是数学教学的延展性。
（二）延展性教学。
实践证明，教师只有按照一定的科学规律，综合考虑教学的各种因素，选择适当的教学方法，并能合理的加以组合，才能使教学效果达到最优化的境地。延展性教学就是一种合理的新的教学方法与教学模式。简单地说，延展性教学就是指对教学过程进行延伸与拓展的教学。早在10多年前，浙江理工大学服装学院就成功地进行了“基本形教学的延展性”研究与应用。尔后有许多高校，无论是文科、理科、工科和一些艺术院校的老师，也陆续把延展性教学方法应用于课堂内、外的教学，取得了许多实际成果。文献依据“科学教育学之父”赫尔巴特的主张，在延展性教学中把学生的个性作为出发点，培养学生多方面的兴趣作为终极教学目的的最近教学目标，使课堂教学作为经验与交际的补充。
（三）延展性数学教学
我们这里感兴趣的是延展性数学教学。首先指出，数学教学过程，是学生在教师的指导下通过自己的思维活动，学习数学知识、数学规律和数学思想方法，并不断自我增进数学素养的过程。
所谓延展性数学教学就是指对数学教学过程进行延伸与拓展的教学。推广、扩充或迁移数学知识，培养和发展学生的创造性思维能力，获得广阔的思维空间，找到新的方法与观点，更好地解决数学问题，发展数学新知识。
近年来也有一些中、小学在数学教学中开始研究与应用延展性教学方法，其中包括把数学知识与技能向课内与课外的延展等。其中介绍了数学知识与内容的延展，当发现学生不善于用学过的数学知识解决他们遇到的问题时，在不违反可接受性原则的基础上有针对性地补充有关新知识。文献的做法是关注课本习题，引导学生主动探究；延伸课本习题，组织学生交流经验；拓展课本习题，鼓励学生灵活运用。他们的做法和体会，与笔者近年来的探索与实践是不谋而合的。以下着重介绍延展性数学教学中延展性练习的教学设计与操作。
二、延展性练习的教学设计与操作
（一）延展性练习的理论依据和特征
练习是小学数学教学的一个重要组成部分，但是在实践中，由于大部分教师对于数学知识的新授环节都能做到多角度深层次思考、多维度精细化设计，但是对于练习设计一般都是以“量”为主，而忽视了对练习“质”的思考，导致大量机械、重复、低效的练习。
作为小数教材中任何一个章节的知识与内容本身都具有延展性，它们是整个数学科学知识系统中的一部分，在客观上都包含有比教学大纲规定要学习的多得多的数学思想和方法。
延展性练习一般是在教学新知后，教师根据学生知识架构情况，有针对性地设计的包含丰富内涵与外延的练习。在操作阶段中，聚焦于学生在推理中发展新数学知识的抽象能力、内涵品质提升的延展性练习教学，其特点主要有以下三个：一是有基础点，那就是这种练习教学要适应学生已有的认识经验，能让学生针对问题通过已有知识方法进行演绎推理，使问题得到解决，以获得首次成功的喜悦。二是有触发点，以首次成果为核心进行拓展，能为学生提供一定的事实条件和情境，以此作为学生营造合情推理的心理场域，并凝结成思维启迪的动力，触发他们去合情推理。三是有延展点，教师设计引导学生逐步进入最近发展区水平。把问题吊在半空中，引着学生一步步向思维更深处漫朔，获得对数学知识的再认识、再提升和再发展。
王名扬等在“论一种缘自认知心理学及教育学研究的数学认知过程”一文中提出了一种全新的教学认知过程——“三象一作” 模式，即“数学现象、数学心象、数学抽象、操作阶段”。这个模式指出：人们想获得高度总结性的科学知识，一般来说总是要经历数学现象数学心象数学抽象这样的认知过程。但认知过程中还包含一个重要的阶段，即“操作阶段”。 这是一个在对知识不断运用和不断认知中再提升的阶段。具体来说“就是在合乎逻辑法则的条件上操作运用抽象的数学知识与数学方法（包括数学符号及语言）去处理数学问题，并进一步发展数学理论知识” 。
基于以上理论研究，学校组织老师们在小学数学教学中进行了操作延展性练习教学的探析研究活动，着重在“三象一作”的“一作”中展开，使形象思维与逻辑思维两种推理交互应用发展数学新知识，提升学生思维力。
（二）延展性练习的典型案例与操作
1、瞄准基础点，在基本形的延展性练习中提升学生思维力。
小学五年级的学生已经经历了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等面积计算方法的推导及应用。在单元知识整理课上，教师瞄准基础点，设计了以“基本形”（当然它的选择是相对的）为基础，沟通5种直线图形面积公式内在联系的延展性练习教学：
（1）复习整理五种图形面积公式推导过程，把分散在各节课中学习的相关直线平面图形的面积知识，按照一定的逻辑关系进行沟通，把单元作为基本型，形成整体。
（2）运用已有知识经验，把平行四边形作为基本形，从它出发引导学生，按一定的逻辑关系，把五种直线图形的面积公式进行沟通，形成体系。
很显然，这是学生在原有知识与方法的基础上借助图形变换来进行合情推理，此刻已经获得了沟通平面图形面积之间联系的一种新的结果。
（3）教师再创设条件与情境，以梯形作为基本形，引导学生归纳分析直线平面图形面积公式的共性。
这样的延展性练习教学，教师通过演示，引导学生想象，不仅发现五种直线平面图形之间的联系，而且抽象的直线平面图形面积计算公式之间也有着联系，这里可用梯形面积公式来统整，这样的操作，把知识串线连片，结成了网络，从而让学生获得了直线平面图形面积计算内在逻辑的全新知识。与此同时，学生的架构知识脉络的思维能力也得到了有效提升。
2、点击触发点，在操作数轴的延展性练习中提升思维力。
小学五年级“认识小数”一课，新授环节中，在学生经过现象、心象，和抽象概括出小数意义后，操作阶段可以引导学生推理、发展新知识，提升思维力。
数轴是认识数的重要工具，点击这一触发点，不仅可以让学生对小数意义的认识更加深刻，而且可以使学生逐步感悟小数的特征，从而发展小数知识的内涵与外延。这里教师可以先设计让学生运用已有的小数概念，在数轴上细分，对具体的小数形成深刻理解，再通过三个递进层次的推理想象，让学生感受小数的无穷性，以及去触摸最小或最大的小数无限渐变并接近某一个极限的知识。具体如下：
首先选择一个特定的区间、也是最简单的一个区间，在此区间上有无限个小数；尔后是通过类比联想到每两个整数之间，把知识向下一个层次发展，引导学生继续推想其他任何两个小数之间也都会有无限个小数。这就是对小数原有知识的一个拓展。通过这一层次的推理想象，使学生对小数知识又有了新的发展；进一步再往深层次发展。数轴不断向右延伸，在数轴向右无限延伸的动态过程中，学生不仅看到了小数变得非常非常大，从而明白小数其实并不小，再加上学生合理地推想，就可以感受到小数也具有无穷大的特征，这一新的知识就是学生对小数概念的发展。
通过这样逐步深入的延展性练习教学，让学生在运用小数概念去理解某些具体的小数意义的基础上，再为他们提供一连串的材料和情境，引导他们合情推理，感受无限，触摸极限，并明白数轴上紧密排列着的每一个点都可以用不同形式的数来表示，这样就在学生心中有效地发展了小数的内涵与外延，为他们的后续学习奠定基础。
这就是“三象一作”中所说的，在对知识不断运用和不断认知中再提升的阶段。也是一个应用了观察、联想、类比、猜测等合情推理的方法与合乎逻辑法则的条件上操作运用抽象的数学知识与数学方法（包括数轴这样的数学符号及语言）去处理数学问题，并进一步发展数学理论知识的过程。
3、启动延展点，在操作跳格游戏的延展性练习中提升思维力。
数学教学既要生活化，又要不失“数学味”。在构造练习的延展性教学中，情景设计非常重要。寓知识发展于情境之中， 让学生在情境中感悟数学萌芽、生长和变化的演绎过程，有效构建知识体系， 提升数学思维力。如教学“列举策略”（苏教版小学数学五年级上册第96页例2）。学生通过解决球赛中的场次等实际问题，建立了列举策略的模型，为了让学生对列举策略有更进一步的发展，教师可以启动延展点，设计这样的延展性练习：小白兔玩跳格游戏，首先从外面跳到第1格，然后每次可以向前跳1格或2格，那么从格子外跳到第3格有几种方法（如图1）？格子数如果增加到4格呢？进而思考：如果格子数继续增加到10、20甚至100呢？
展开时，可以运用多媒体模拟演示小白兔玩跳格游戏，让学生厘清游戏规则，建立条件要素具象。进而引导学生运用已有的列举方法，获得从外面跳到1、2、3及4格的跳法种数。这样的设计一改过去孩子们学习的被动局面，使他们对探索规律产生浓厚兴趣，整个教学过程进入直觉与逻辑交融的主旋律中。下面只给出主要结果，具体教学过程略：
表1 格子数与方法数对应表
回忆一下（注，回忆旧知识也是一种延展）：从表中的方法数来看，很像以前学过的数列：1、1、2、3、5、……。
终于发现、找到规律：从第三项起，每一项等于前两项的和。
那么，到底有没有一个公式来计算呢？将这个问题延展到课后去探索与思考。通过这套延展性练习，有效发展了学生对列举法的加深认识，提升了数学思维力。
参考文献：
[1] 张康夫，创新环境下基本形教学的延展性及其应用性研究，浙江理工大学学报，Vol 。23 ， N o 。4 ， Dec 。2006：523-526转577。
[2] 武长治，论高校教学方法的延展性，大众文艺，2010-08：257。
[3] 周莉娜等，环境评价教学延展性探索[J]，教育教学论坛，2012-04：247-248。
[4] 刘万海，真正教学的意味———基于赫尔巴特“教育性教学”思想的延展性思考，全球教育展望，Vol。 40，No。 9，2011：9-12转18。
[5] 汤红美，通过案例的延展性增加教与学互动的技巧[J]，中小企业管理与科技，2010，12：155。
[6] 孙华，有效延展，促进内化———高中数学延展性教学的几点思考，数学教学通讯[J]，2017-07：56-57
[7] 王爱军，对小学数学课堂中延展性问题的思考，小学教学研究，2009-04：26-27。
[8] 逯美玲，做数学课上的“有心人”——浅谈数学课的延展性[J] 。小学教学研究，2018-12：76-78。
[9] 杨淑萍，对数学课堂教学延展性的一些理解[OL]，https：//wenku。baidu。com/view/19b865233169。
[10] 王名扬，徐沥泉，徐利治。论一种缘自认知心理学及教育学研究的数学认知过程[J]。数学教育学报，2013，22（1）：33-36。
[11] 章汉平．延展性数学情境设计与思考[J]．好家长？新教育，2007-08：34-35．
作者简介：顾丽英（1974-），女，江苏无锡人，中学高级教师、校长，主要从事小学数学教学研究。
关键词：数学练习；延展性教学；三象一作过程；合情推理；演绎推理；融会贯通
一、相关概念界定
（一）延展性。
其实所谓延展性是指物质的一种物理属性，指可锤炼可压延程度。物体在外力作用下能延伸成细丝而不断裂的性质叫延性，在外力（锤击或滚轧）作用能碾成薄片而不破裂的性质叫展性。延展性也可形容一个人的品质与能力，某人延展性强是指他可塑性强，可以胜任多种角色或者多个工种。下面，我们尝试给出延展性教学的一个界定，而我们感兴趣的是数学教学的延展性。
（二）延展性教学。
实践证明，教师只有按照一定的科学规律，综合考虑教学的各种因素，选择适当的教学方法，并能合理的加以组合，才能使教学效果达到最优化的境地。延展性教学就是一种合理的新的教学方法与教学模式。简单地说，延展性教学就是指对教学过程进行延伸与拓展的教学。早在10多年前，浙江理工大学服装学院就成功地进行了“基本形教学的延展性”研究与应用。尔后有许多高校，无论是文科、理科、工科和一些艺术院校的老师，也陆续把延展性教学方法应用于课堂内、外的教学，取得了许多实际成果。文献依据“科学教育学之父”赫尔巴特的主张，在延展性教学中把学生的个性作为出发点，培养学生多方面的兴趣作为终极教学目的的最近教学目标，使课堂教学作为经验与交际的补充。
（三）延展性数学教学
我们这里感兴趣的是延展性数学教学。首先指出，数学教学过程，是学生在教师的指导下通过自己的思维活动，学习数学知识、数学规律和数学思想方法，并不断自我增进数学素养的过程。
所谓延展性数学教学就是指对数学教学过程进行延伸与拓展的教学。推广、扩充或迁移数学知识，培养和发展学生的创造性思维能力，获得广阔的思维空间，找到新的方法与观点，更好地解决数学问题，发展数学新知识。
近年来也有一些中、小学在数学教学中开始研究与应用延展性教学方法，其中包括把数学知识与技能向课内与课外的延展等。其中介绍了数学知识与内容的延展，当发现学生不善于用学过的数学知识解决他们遇到的问题时，在不违反可接受性原则的基础上有针对性地补充有关新知识。文献的做法是关注课本习题，引导学生主动探究；延伸课本习题，组织学生交流经验；拓展课本习题，鼓励学生灵活运用。他们的做法和体会，与笔者近年来的探索与实践是不谋而合的。以下着重介绍延展性数学教学中延展性练习的教学设计与操作。
二、延展性练习的教学设计与操作
（一）延展性练习的理论依据和特征
练习是小学数学教学的一个重要组成部分，但是在实践中，由于大部分教师对于数学知识的新授环节都能做到多角度深层次思考、多维度精细化设计，但是对于练习设计一般都是以“量”为主，而忽视了对练习“质”的思考，导致大量机械、重复、低效的练习。
作为小数教材中任何一个章节的知识与内容本身都具有延展性，它们是整个数学科学知识系统中的一部分，在客观上都包含有比教学大纲规定要学习的多得多的数学思想和方法。
延展性练习一般是在教学新知后，教师根据学生知识架构情况，有针对性地设计的包含丰富内涵与外延的练习。在操作阶段中，聚焦于学生在推理中发展新数学知识的抽象能力、内涵品质提升的延展性练习教学，其特点主要有以下三个：一是有基础点，那就是这种练习教学要适应学生已有的认识经验，能让学生针对问题通过已有知识方法进行演绎推理，使问题得到解决，以获得首次成功的喜悦。二是有触发点，以首次成果为核心进行拓展，能为学生提供一定的事实条件和情境，以此作为学生营造合情推理的心理场域，并凝结成思维启迪的动力，触发他们去合情推理。三是有延展点，教师设计引导学生逐步进入最近发展区水平。把问题吊在半空中，引着学生一步步向思维更深处漫朔，获得对数学知识的再认识、再提升和再发展。
王名扬等在“论一种缘自认知心理学及教育学研究的数学认知过程”一文中提出了一种全新的教学认知过程——“三象一作” 模式，即“数学现象、数学心象、数学抽象、操作阶段”。这个模式指出：人们想获得高度总结性的科学知识，一般来说总是要经历数学现象数学心象数学抽象这样的认知过程。但认知过程中还包含一个重要的阶段，即“操作阶段”。 这是一个在对知识不断运用和不断认知中再提升的阶段。具体来说“就是在合乎逻辑法则的条件上操作运用抽象的数学知识与数学方法（包括数学符号及语言）去处理数学问题，并进一步发展数学理论知识” 。
基于以上理论研究，学校组织老师们在小学数学教学中进行了操作延展性练习教学的探析研究活动，着重在“三象一作”的“一作”中展开，使形象思维与逻辑思维两种推理交互应用发展数学新知识，提升学生思维力。
（二）延展性练习的典型案例与操作
1、瞄准基础点，在基本形的延展性练习中提升学生思维力。
小学五年级的学生已经经历了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等面积计算方法的推导及应用。在单元知识整理课上，教师瞄准基础点，设计了以“基本形”（当然它的选择是相对的）为基础，沟通5种直线图形面积公式内在联系的延展性练习教学：
（1）复习整理五种图形面积公式推导过程，把分散在各节课中学习的相关直线平面图形的面积知识，按照一定的逻辑关系进行沟通，把单元作为基本型，形成整体。
（2）运用已有知识经验，把平行四边形作为基本形，从它出发引导学生，按一定的逻辑关系，把五种直线图形的面积公式进行沟通，形成体系。
很显然，这是学生在原有知识与方法的基础上借助图形变换来进行合情推理，此刻已经获得了沟通平面图形面积之间联系的一种新的结果。
（3）教师再创设条件与情境，以梯形作为基本形，引导学生归纳分析直线平面图形面积公式的共性。
这样的延展性练习教学，教师通过演示，引导学生想象，不仅发现五种直线平面图形之间的联系，而且抽象的直线平面图形面积计算公式之间也有着联系，这里可用梯形面积公式来统整，这样的操作，把知识串线连片，结成了网络，从而让学生获得了直线平面图形面积计算内在逻辑的全新知识。与此同时，学生的架构知识脉络的思维能力也得到了有效提升。
2、点击触发点，在操作数轴的延展性练习中提升思维力。
小学五年级“认识小数”一课，新授环节中，在学生经过现象、心象，和抽象概括出小数意义后，操作阶段可以引导学生推理、发展新知识，提升思维力。
数轴是认识数的重要工具，点击这一触发点，不仅可以让学生对小数意义的认识更加深刻，而且可以使学生逐步感悟小数的特征，从而发展小数知识的内涵与外延。这里教师可以先设计让学生运用已有的小数概念，在数轴上细分，对具体的小数形成深刻理解，再通过三个递进层次的推理想象，让学生感受小数的无穷性，以及去触摸最小或最大的小数无限渐变并接近某一个极限的知识。具体如下：
首先选择一个特定的区间、也是最简单的一个区间，在此区间上有无限个小数；尔后是通过类比联想到每两个整数之间，把知识向下一个层次发展，引导学生继续推想其他任何两个小数之间也都会有无限个小数。这就是对小数原有知识的一个拓展。通过这一层次的推理想象，使学生对小数知识又有了新的发展；进一步再往深层次发展。数轴不断向右延伸，在数轴向右无限延伸的动态过程中，学生不仅看到了小数变得非常非常大，从而明白小数其实并不小，再加上学生合理地推想，就可以感受到小数也具有无穷大的特征，这一新的知识就是学生对小数概念的发展。
通过这样逐步深入的延展性练习教学，让学生在运用小数概念去理解某些具体的小数意义的基础上，再为他们提供一连串的材料和情境，引导他们合情推理，感受无限，触摸极限，并明白数轴上紧密排列着的每一个点都可以用不同形式的数来表示，这样就在学生心中有效地发展了小数的内涵与外延，为他们的后续学习奠定基础。
这就是“三象一作”中所说的，在对知识不断运用和不断认知中再提升的阶段。也是一个应用了观察、联想、类比、猜测等合情推理的方法与合乎逻辑法则的条件上操作运用抽象的数学知识与数学方法（包括数轴这样的数学符号及语言）去处理数学问题，并进一步发展数学理论知识的过程。
3、启动延展点，在操作跳格游戏的延展性练习中提升思维力。
数学教学既要生活化，又要不失“数学味”。在构造练习的延展性教学中，情景设计非常重要。寓知识发展于情境之中， 让学生在情境中感悟数学萌芽、生长和变化的演绎过程，有效构建知识体系， 提升数学思维力。如教学“列举策略”（苏教版小学数学五年级上册第96页例2）。学生通过解决球赛中的场次等实际问题，建立了列举策略的模型，为了让学生对列举策略有更进一步的发展，教师可以启动延展点，设计这样的延展性练习：小白兔玩跳格游戏，首先从外面跳到第1格，然后每次可以向前跳1格或2格，那么从格子外跳到第3格有几种方法（如图1）？格子数如果增加到4格呢？进而思考：如果格子数继续增加到10、20甚至100呢？
展开时，可以运用多媒体模拟演示小白兔玩跳格游戏，让学生厘清游戏规则，建立条件要素具象。进而引导学生运用已有的列举方法，获得从外面跳到1、2、3及4格的跳法种数。这样的设计一改过去孩子们学习的被动局面，使他们对探索规律产生浓厚兴趣，整个教学过程进入直觉与逻辑交融的主旋律中。下面只给出主要结果，具体教学过程略：
表1 格子数与方法数对应表
回忆一下（注，回忆旧知识也是一种延展）：从表中的方法数来看，很像以前学过的数列：1、1、2、3、5、……。
终于发现、找到规律：从第三项起，每一项等于前两项的和。
那么，到底有没有一个公式来计算呢？将这个问题延展到课后去探索与思考。通过这套延展性练习，有效发展了学生对列举法的加深认识，提升了数学思维力。
参考文献：
[1] 张康夫，创新环境下基本形教学的延展性及其应用性研究，浙江理工大学学报，Vol 。23 ， N o 。4 ， Dec 。2006：523-526转577。
[2] 武长治，论高校教学方法的延展性，大众文艺，2010-08：257。
[3] 周莉娜等，环境评价教学延展性探索[J]，教育教学论坛，2012-04：247-248。
[4] 刘万海，真正教学的意味———基于赫尔巴特“教育性教学”思想的延展性思考，全球教育展望，Vol。 40，No。 9，2011：9-12转18。
[5] 汤红美，通过案例的延展性增加教与学互动的技巧[J]，中小企业管理与科技，2010，12：155。
[6] 孙华，有效延展，促进内化———高中数学延展性教学的几点思考，数学教学通讯[J]，2017-07：56-57
[7] 王爱军，对小学数学课堂中延展性问题的思考，小学教学研究，2009-04：26-27。
[8] 逯美玲，做数学课上的“有心人”——浅谈数学课的延展性[J] 。小学教学研究，2018-12：76-78。
[9] 杨淑萍，对数学课堂教学延展性的一些理解[OL]，https：//wenku。baidu。com/view/19b865233169。
[10] 王名扬，徐沥泉，徐利治。论一种缘自认知心理学及教育学研究的数学认知过程[J]。数学教育学报，2013，22（1）：33-36。
[11] 章汉平．延展性数学情境设计与思考[J]．好家长？新教育，2007-08：34-35．
作者简介：顾丽英（1974-），女，江苏无锡人，中学高级教师、校长，主要从事小学数学教学研究。
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