2025年02期
浅谈建模思想在初中数学教学中的应用
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：建模思想是培养数学应用意识的重要手段，也是数学思维之间沟通的桥梁。本文结合初中数学课堂教学，通过建立公式模型、图形模型、方程模型，以点带面的探讨了建模思想在初中数学教学中的应用。本文对于提升学生数学建模意识，利用好建模思想有一定的促进作用。
关键词：建模思想；公式模型；图形模型；方程模型
中学数学教学中建模思想的培养与应用是数学教育的重要内容，呼唤数学应用意识，提高数学应用质量，已成为广大数学教育工作者的共识。开展中学数学建模教学与应用的研究，对提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育有重要意义。
一、引导学生观察等式特点建立公式模型
例如：在探索平方差公式的过程中，教师首先要引导学生用数学的眼光发现问题：下面的四个式子中，等式的左边有什么共同特征？ 等式的右边有什么共同特征？
（1）(x+2)(x-2)=x2-22
（2）(m+3)(m-3)=m2-32
（3）(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12
（4）(4x+3y)(4x-3y)=(4x)2-(3y)2
然后思考问题：如何用字母表示这个规律？学生面临字母的选择、如何建立字母与字母之间的联系。最后用数学语言表达规律：（a＋b）（a－b）＝a2－b2。接下来有的学生会产生质疑：这个等式是否成立？学生会自觉地利用多项式乘多项式法则证明等式的正确性。还可以进一步引导学生观察得到公式的左边，a＋b与a－b两个多项式的第一项相同，第二项b和－b互为相反数，公式的右边是相同项的平方，减去互为相反数的其中一项的平方，公式多么和谐和对称。不得不说，平方差公式的诞生是寻求数学简洁美的结果，学生利用平方差公式计算形如（a＋b）（a－b）的式子，不用再回到复杂的多项式乘多项式的路上去，简化了运算，这才是公式的价值。
可以说，七年级学生的数学抽象思维能力还较弱，他们就是在这样的数学抽象中，学会了归纳法、数学建模，学会了用合情推理得出结论，用演绎推理证明结论。这种思维锻炼有助于培养他们用数学去思考，有助于他们把这种思维经验迁移到后面的学习中去。
二、指导学生建立图形模型
图形建模是内隐的。教师要认真钻研教材，不仅要研读本课时的教学内容，还要研读与之相关的其他内容，深刻把握知识之间的内部关联。在此基础上，深入了解已有的认知结构，在学生已有的认知结构之上帮助学生进行知识体系的建构，让知识链伸长分支，构建完整的数学知识体系，建立图形模型，让学生学有形象和有结构的数学。
1.图形建模准备
图形建模的准备在图形建模的构建中起着关键性的作用，这个过程可以通过情境引入或通过提出问题，让学生从中得出一个几何问题。
例如，在教学北师大版八年级下册”平行四边形”时，问题：如图1，四边形ABCD是平行四边形。 求证：AB=CD，BC=DA。学生在遇到这样的问题时，往往千头万绪，不知从何入手解题。这时教师首先要引导学生从题目所给条件出发，寻找建立模型的突破口。模型准备阶段，教师应尽可能为学生提供完整和真实的问题背景，使学生产生学习的需要。
2.图形建模的形成与验证
这个过程要通过调动学生原有的知识经验，引导学生经过操作、质疑、交流、提出猜想、验证猜想。以图1提到的问题为例，教师可连接AC，那么从图2中就能直接得到一对全等三角形，这样就能化未知为已知，化抽象为直观，并通过验证，使学生发现“辅助线”在证明中的强大作用。
3.利用图形建模解决问题
这个过程教师要引导学生结合图形利用已知条件联想知识点，当条件和知识点没办法用时，要作辅助线，作辅助线的目的是为了构建能应用已知条件和知识点的图形，从而促进知识的内化。
例如：如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，BD平分∠ABC，∠BDC=95°，AE⊥BC于点E。
（1） 求∠BAE的度数； （2）若点D到BC的距离是4，BC＝10，S△ABC＝36，求AB的长。
学生在解第（2） 时感到困难。这时老师引导学生分析点D到BC的距离是4，是指过点D作BC的垂线，垂足为M，垂线段DM的长为4，这样就可以求△BDC的面积，进而可以求△ABD的面积，而要求AB的长，只要先求△ABD的AB边的高，再过点D作AB的垂线，垂足为N，利用角平分线的性质可知DN=DM=4，最后可求AB的长。作这两条辅助线的目的是为了构建能应用角平分线的性质和三角形的面积这两个知识点。这样一步一步就得到图形建模的目的，进一步促进学生理解图形建模的思维方法。
三、引导学生建立方程模型
例如： 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2∶1，求∠B的度数．对于七年级学生见到这一题时会感到有点困难，如果老师能及时引导学生认真分析可知∠B=∠DAE，可以设∠DAC=x，则∠B=∠DAE=2x，从而列出方程x+2x+2x= 90°迅速得到答案.并可以让学生明白如果在几何问题中出现和差倍分或比值关系可考虑采用方程思想建立方程模型，从而进一步拓展了学生的思维.
总之，在初中数学教学中构建学生建模意识与素质教肓所需要的培养学生的创造性思维能力是相辅相成，密不可分的。要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生在自主学习过程中构建建模意识，只有这样才能拓展学生的解题思路，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多的“创新型”人才提供一个全新的舞台。
关键词：建模思想；公式模型；图形模型；方程模型
中学数学教学中建模思想的培养与应用是数学教育的重要内容，呼唤数学应用意识，提高数学应用质量，已成为广大数学教育工作者的共识。开展中学数学建模教学与应用的研究，对提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育有重要意义。
一、引导学生观察等式特点建立公式模型
例如：在探索平方差公式的过程中，教师首先要引导学生用数学的眼光发现问题：下面的四个式子中，等式的左边有什么共同特征？ 等式的右边有什么共同特征？
（1）(x+2)(x-2)=x2-22
（2）(m+3)(m-3)=m2-32
（3）(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12
（4）(4x+3y)(4x-3y)=(4x)2-(3y)2
然后思考问题：如何用字母表示这个规律？学生面临字母的选择、如何建立字母与字母之间的联系。最后用数学语言表达规律：（a＋b）（a－b）＝a2－b2。接下来有的学生会产生质疑：这个等式是否成立？学生会自觉地利用多项式乘多项式法则证明等式的正确性。还可以进一步引导学生观察得到公式的左边，a＋b与a－b两个多项式的第一项相同，第二项b和－b互为相反数，公式的右边是相同项的平方，减去互为相反数的其中一项的平方，公式多么和谐和对称。不得不说，平方差公式的诞生是寻求数学简洁美的结果，学生利用平方差公式计算形如（a＋b）（a－b）的式子，不用再回到复杂的多项式乘多项式的路上去，简化了运算，这才是公式的价值。
可以说，七年级学生的数学抽象思维能力还较弱，他们就是在这样的数学抽象中，学会了归纳法、数学建模，学会了用合情推理得出结论，用演绎推理证明结论。这种思维锻炼有助于培养他们用数学去思考，有助于他们把这种思维经验迁移到后面的学习中去。
二、指导学生建立图形模型
图形建模是内隐的。教师要认真钻研教材，不仅要研读本课时的教学内容，还要研读与之相关的其他内容，深刻把握知识之间的内部关联。在此基础上，深入了解已有的认知结构，在学生已有的认知结构之上帮助学生进行知识体系的建构，让知识链伸长分支，构建完整的数学知识体系，建立图形模型，让学生学有形象和有结构的数学。
1.图形建模准备
图形建模的准备在图形建模的构建中起着关键性的作用，这个过程可以通过情境引入或通过提出问题，让学生从中得出一个几何问题。
例如，在教学北师大版八年级下册”平行四边形”时，问题：如图1，四边形ABCD是平行四边形。 求证：AB=CD，BC=DA。学生在遇到这样的问题时，往往千头万绪，不知从何入手解题。这时教师首先要引导学生从题目所给条件出发，寻找建立模型的突破口。模型准备阶段，教师应尽可能为学生提供完整和真实的问题背景，使学生产生学习的需要。
2.图形建模的形成与验证
这个过程要通过调动学生原有的知识经验，引导学生经过操作、质疑、交流、提出猜想、验证猜想。以图1提到的问题为例，教师可连接AC，那么从图2中就能直接得到一对全等三角形，这样就能化未知为已知，化抽象为直观，并通过验证，使学生发现“辅助线”在证明中的强大作用。
3.利用图形建模解决问题
这个过程教师要引导学生结合图形利用已知条件联想知识点，当条件和知识点没办法用时，要作辅助线，作辅助线的目的是为了构建能应用已知条件和知识点的图形，从而促进知识的内化。
例如：如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，BD平分∠ABC，∠BDC=95°，AE⊥BC于点E。
（1） 求∠BAE的度数； （2）若点D到BC的距离是4，BC＝10，S△ABC＝36，求AB的长。
学生在解第（2） 时感到困难。这时老师引导学生分析点D到BC的距离是4，是指过点D作BC的垂线，垂足为M，垂线段DM的长为4，这样就可以求△BDC的面积，进而可以求△ABD的面积，而要求AB的长，只要先求△ABD的AB边的高，再过点D作AB的垂线，垂足为N，利用角平分线的性质可知DN=DM=4，最后可求AB的长。作这两条辅助线的目的是为了构建能应用角平分线的性质和三角形的面积这两个知识点。这样一步一步就得到图形建模的目的，进一步促进学生理解图形建模的思维方法。
三、引导学生建立方程模型
例如： 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2∶1，求∠B的度数．对于七年级学生见到这一题时会感到有点困难，如果老师能及时引导学生认真分析可知∠B=∠DAE，可以设∠DAC=x，则∠B=∠DAE=2x，从而列出方程x+2x+2x= 90°迅速得到答案.并可以让学生明白如果在几何问题中出现和差倍分或比值关系可考虑采用方程思想建立方程模型，从而进一步拓展了学生的思维.
总之，在初中数学教学中构建学生建模意识与素质教肓所需要的培养学生的创造性思维能力是相辅相成，密不可分的。要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生在自主学习过程中构建建模意识，只有这样才能拓展学生的解题思路，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多的“创新型”人才提供一个全新的舞台。
- 【发布时间】2019/7/3 14:52:24
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