2025年02期
例谈高考中导数方法的应用
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：导数是高中数学的重要内容，导数知识和其他数学知识结合可以产生多种多样的新题型，这类题型立意巧妙、观点新颖，成了考试题中的亮点，也成了学生的难题。文章阐述了高中数学导数的概念，分析了导数在高中数学解题中的具体应用思路，并提出通过做题探索解题方法，使学生掌握导数解题的能力，提高学生的创造性能力。
关键词：导数；高考；方法应用
从广泛意义上来看，导数是微积分的重要组成部分，掌握好导数相关知识对解答函数问题起到重要帮助。高中整体数学内容涵盖了：导数、函数、几何、概率等多个知识体系，并且在历年高考中都占有一定比例。导数与函数都学好数学的基础工具，但导数相对难度较大，所以本文讨论内容就尤为重要。
一、求解导数极值
利用导数求函数极值也是高中阶段的常见题型，很多同学都误以为如果函数最终求导结果为0，那么这就是函数的极值点。这种错误解题观点的出现是由于相关知识点掌握不全面，仅靠字面意思理解而没有深化学习深刻定义。如果认为导数为0时，函数极值可求，那么最终结果会出现很大偏差。
此外利用导数研究函数极值、最值相关的问题，一般有以下几类题型：
1.直接求解函数的极值、最值或其个数；
2.已知含参函数的极值、最值相关信息，求含参函数中参数的取值范围.
已知函数f（x）=x3+mx2+x+2的两个极值点都在区间（-1，1）内，则正数m的取值范围是多少
解析：由题意可知f′（x）=0的两个不同解都在区间（-1，1）内.因为f′（x）=3x2+2mx+1，所以根据导函数图象可得Δ=（2m）2-4×3×1>0，-1<-2m6<1，f′（-1）=3-2m+1>0，f′（1）=3+2m+1>0，又m>0，解得3<m<2.
解题的关键依然是围绕导数的正负展开，注意函数极值存在的条件，结合函数的图象，特别是结合二次方程根的分布（包括二次函数的保号性的运用）等情况综合考虑.
二、导数在几何中的应用
在学习导数知识过程中可以明显发现，函数、导数之间存在的几何意义可以看出函数运动时曲线某范围内的斜切率，如果能充分理解相关内容定义，在处理几何计算问题时的效率就会明显提升。例如：在计算曲线切线方程y=-2x2+x时，该方程式经过点（1，1），求出该曲线的切线方程。很多同学在计算该题时出现错误都是因为先对y=-x2+x进行直接求导，然后把（2，1）直接带入到其中，得到最终切线斜率k=-2，然后带入得解y=-2x+1。在这种错误解题思维中，首先解题人没有判断（2，1）是否存在于曲线，，所以不能将其直接导入到切线方程中。因此正确完整的解题过程应该是先设定一个切点Q（xa，ya），然后把（2，1）带入，得到ya=-xa2+xa，然后求得斜率为k=f‘=-2xa+1，根据斜线定义求知k=ya-1/xa-1，最终得到xa=0或者xa=2。切线方程为y=x以及y=-7x+8。
三、提高学生导数运用的准则
（一）掌握基础知识，提高解题速度
尽管近些年来的导数内容多以解答题的形式考查，并未有直接考查导数概念的题型，但是，正所谓“千里之行，始于足下”，如果学生没有稳固的基础知识，就不能从导数概念的实际背景出发，结合题目中所给的条件，从题目中提取相关信息，解决实际问题。因此，只有掌握导数的基础知识提升解题速度的前提，才能在思想和方法上进行深化。
例如大纲中要求学生掌握的基本内容有导数的概念，包括平均变化率和瞬时变化率的意义，变化率与导数之间的相互联系等，这些都是学生解决综合问题的基础，在平时的学习中要注意加强这方面的练习。在高考数学试题中，强大的运算能力是提高学生解题速度的前提，因此，在做导数类运算题目时，笔者建议学生要多注意总结一些常用的运算技巧，为综合性大题的解题方法思考留出足够的时间。
（二）系统归类，针对题目调用导数知识点
在导数知识的典型例题中，经常会利用理解误区，在题目设计上，设置“陷阱”，故意引导同学们将分析的内容向着错误的方向发展，并最终导致解题方法与答案的错误。因此，在进行问题解答的过程中，必须保证系统归类的合理性，在充分分析知识内容的同时，提高题目理解的准确度，以清晰的思路作为指导，规避解答中可能存在的“陷阱”式问题。
例如，在某三角函数问题中，已知条件为y=（1+cos2x）2，并要求求解y'的值。在完成分析后，发现这一问题是典型的导数求导问题，必须对2x与x之间的系数差异性进行分析，然后再进行复核化的问题解答。在求解过程中，可以设y'=u2且u=1+cos2x，然后，经过系列的推导，就可得到正确的解答内容，然后完成整个例题的计算。
（三）灵活应用，将导数知识与生活内容结合
数学知识的内容来源于生活，也应用于生活，在这一点上，导数知识也不例外。在进行知识内容学习的过程中，通过知识典型例题中的生活化旁引，可以帮助同学们更加清晰的整理导数知识的逻辑关系。然而在日常学习中，也必须将导数知识与生活中的实际问题结合起来，以此更好的巩固导数知识的熟练程度，进而通过例题训练，达到能力锻炼的效果。在这种生活化典型例题的学习与训练中，还可以以更加灵活的思路面对数学问题，在进行答题时，不会受到复杂化例题的字面内容影响，提高解题的效率与方法。
综上，作为高中数学的重点内容，导数在日常生活中已获得了广泛应用，学习导数是非常重要的。导数在高中数学解题中与其他知识点的交汇分析更是重中之重，解决这类复杂题型时要注意准确审题，快速理解，把握所有题目涵盖的知识点，抓住题目的本质，将各个知识点串连成线，学习导数在解题中的应用需要循序渐进，先打好基本导数的基础，再学习解答综合交汇题目，在解答交汇题目时积累的方法和经验可以帮助学生解决其他数学甚至其他科目的难题，让学生在高考中取得理想的成绩。
参考文献：
[1]程学祥.探究导数在高中数学解题中的应用[J].数学学习与研究，2018，（15）：90.
[2]邵一丹.高中数学关于极限思想的内容梳理及其教学研究[D].陕西师范大学，2017.
关键词：导数；高考；方法应用
从广泛意义上来看，导数是微积分的重要组成部分，掌握好导数相关知识对解答函数问题起到重要帮助。高中整体数学内容涵盖了：导数、函数、几何、概率等多个知识体系，并且在历年高考中都占有一定比例。导数与函数都学好数学的基础工具，但导数相对难度较大，所以本文讨论内容就尤为重要。
一、求解导数极值
利用导数求函数极值也是高中阶段的常见题型，很多同学都误以为如果函数最终求导结果为0，那么这就是函数的极值点。这种错误解题观点的出现是由于相关知识点掌握不全面，仅靠字面意思理解而没有深化学习深刻定义。如果认为导数为0时，函数极值可求，那么最终结果会出现很大偏差。
此外利用导数研究函数极值、最值相关的问题，一般有以下几类题型：
1.直接求解函数的极值、最值或其个数；
2.已知含参函数的极值、最值相关信息，求含参函数中参数的取值范围.
已知函数f（x）=x3+mx2+x+2的两个极值点都在区间（-1，1）内，则正数m的取值范围是多少
解析：由题意可知f′（x）=0的两个不同解都在区间（-1，1）内.因为f′（x）=3x2+2mx+1，所以根据导函数图象可得Δ=（2m）2-4×3×1>0，-1<-2m6<1，f′（-1）=3-2m+1>0，f′（1）=3+2m+1>0，又m>0，解得3<m<2.
解题的关键依然是围绕导数的正负展开，注意函数极值存在的条件，结合函数的图象，特别是结合二次方程根的分布（包括二次函数的保号性的运用）等情况综合考虑.
二、导数在几何中的应用
在学习导数知识过程中可以明显发现，函数、导数之间存在的几何意义可以看出函数运动时曲线某范围内的斜切率，如果能充分理解相关内容定义，在处理几何计算问题时的效率就会明显提升。例如：在计算曲线切线方程y=-2x2+x时，该方程式经过点（1，1），求出该曲线的切线方程。很多同学在计算该题时出现错误都是因为先对y=-x2+x进行直接求导，然后把（2，1）直接带入到其中，得到最终切线斜率k=-2，然后带入得解y=-2x+1。在这种错误解题思维中，首先解题人没有判断（2，1）是否存在于曲线，，所以不能将其直接导入到切线方程中。因此正确完整的解题过程应该是先设定一个切点Q（xa，ya），然后把（2，1）带入，得到ya=-xa2+xa，然后求得斜率为k=f‘=-2xa+1，根据斜线定义求知k=ya-1/xa-1，最终得到xa=0或者xa=2。切线方程为y=x以及y=-7x+8。
三、提高学生导数运用的准则
（一）掌握基础知识，提高解题速度
尽管近些年来的导数内容多以解答题的形式考查，并未有直接考查导数概念的题型，但是，正所谓“千里之行，始于足下”，如果学生没有稳固的基础知识，就不能从导数概念的实际背景出发，结合题目中所给的条件，从题目中提取相关信息，解决实际问题。因此，只有掌握导数的基础知识提升解题速度的前提，才能在思想和方法上进行深化。
例如大纲中要求学生掌握的基本内容有导数的概念，包括平均变化率和瞬时变化率的意义，变化率与导数之间的相互联系等，这些都是学生解决综合问题的基础，在平时的学习中要注意加强这方面的练习。在高考数学试题中，强大的运算能力是提高学生解题速度的前提，因此，在做导数类运算题目时，笔者建议学生要多注意总结一些常用的运算技巧，为综合性大题的解题方法思考留出足够的时间。
（二）系统归类，针对题目调用导数知识点
在导数知识的典型例题中，经常会利用理解误区，在题目设计上，设置“陷阱”，故意引导同学们将分析的内容向着错误的方向发展，并最终导致解题方法与答案的错误。因此，在进行问题解答的过程中，必须保证系统归类的合理性，在充分分析知识内容的同时，提高题目理解的准确度，以清晰的思路作为指导，规避解答中可能存在的“陷阱”式问题。
例如，在某三角函数问题中，已知条件为y=（1+cos2x）2，并要求求解y'的值。在完成分析后，发现这一问题是典型的导数求导问题，必须对2x与x之间的系数差异性进行分析，然后再进行复核化的问题解答。在求解过程中，可以设y'=u2且u=1+cos2x，然后，经过系列的推导，就可得到正确的解答内容，然后完成整个例题的计算。
（三）灵活应用，将导数知识与生活内容结合
数学知识的内容来源于生活，也应用于生活，在这一点上，导数知识也不例外。在进行知识内容学习的过程中，通过知识典型例题中的生活化旁引，可以帮助同学们更加清晰的整理导数知识的逻辑关系。然而在日常学习中，也必须将导数知识与生活中的实际问题结合起来，以此更好的巩固导数知识的熟练程度，进而通过例题训练，达到能力锻炼的效果。在这种生活化典型例题的学习与训练中，还可以以更加灵活的思路面对数学问题，在进行答题时，不会受到复杂化例题的字面内容影响，提高解题的效率与方法。
综上，作为高中数学的重点内容，导数在日常生活中已获得了广泛应用，学习导数是非常重要的。导数在高中数学解题中与其他知识点的交汇分析更是重中之重，解决这类复杂题型时要注意准确审题，快速理解，把握所有题目涵盖的知识点，抓住题目的本质，将各个知识点串连成线，学习导数在解题中的应用需要循序渐进，先打好基本导数的基础，再学习解答综合交汇题目，在解答交汇题目时积累的方法和经验可以帮助学生解决其他数学甚至其他科目的难题，让学生在高考中取得理想的成绩。
参考文献：
[1]程学祥.探究导数在高中数学解题中的应用[J].数学学习与研究，2018，（15）：90.
[2]邵一丹.高中数学关于极限思想的内容梳理及其教学研究[D].陕西师范大学，2017.
- 【发布时间】2019/7/3 15:00:03
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