——从一道数列不等式的证明谈起

  摘 要：从数学运算开始，对一道数列不等式的证明问题进行剖析，进而寻求理想证明方法，展示核心素养培养的基本途径.
　　关键词：数列；不等式；放缩；数学运算；逻辑推理
　　数学课程标准（2017年版）指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的”.后者体现了数学学科核心素养特有的养成性、阶段性和发展性.因此，需要教师自觉地在教学中，结合具体的教学内容，遵循规律，落实目标.下面以一道数列不等式的证明为例，谈谈课堂如何落实数学学科核心素养的培养.
　　先摘录试题如下：
　　已知数列{an}中，an=■，Sn为(an)的前n项的和，证明Sn＜■.
　　分析：这是一道以数列为载体，以求和为方向，以不等式放缩为目标的证明问题.数列求和方法无非是公式求和、倒序相加求和、错位相减求和、裂项相消求和等.基于数列的通项公式，直接求和是不可能的，考虑到所证不等式右边为常数，裂项相消（将二次分式向一次分式过渡）和不等式放缩成为一种可能.
　　1.选准方向，将计算进行到底
　　师：数列的项为正数，故和会越加越大，目标式说明，和再大也大不过■.根据上面分析，本题考虑应用裂项相消法.从结构来看，应该对项放大，常用的裂项相消法该选什么？
　　生：一般地，我们有■＜■=■-■（n≥2）.
　　设计意图：由学生自己选择放缩公式，考验学生的逻辑判断能力和数学积累.这个放缩公式，既符合所证不等式的结构特点（放大），又将分母二次式降为一次式，更客观的是得到相邻整数的倒数差，是非常适合裂项相消的.但能不能实现问题的求解，必须算一算.
　　师生共同完成下面的计算.
　　当n=1时，S1=1＜■，不等式成立；
　　当n≥2时，S2＜1+(1-■)+(■-■)+L+(■-■)
　　      =2-■＜2，不等式不成立，；
　　师：这是怎么回事？难道我们选择的放缩公式不恰当？
　　生：好像是放多了，因为S2=1+■＜■，不等式成立.可以考虑从第三项开始放大.
　　当n≥3时，Sn＜1+■+(■-■)+L+(■-■)
　　      =■-■＜■，不等式不成立，但S3=■＜■和式上限在缩小，而，不S3=■＜■等式也是成立的；
　　当n≥4时，Sn＜1+■+■+(■-■)+L+(■-■)
　　      =■-■＜■，不等式不成立，但S4=■＜■，不等式成立；
　　当n≥5时，Sn＜1+■+■+■+(■-■)+L+(■-■)
　　　　    =■-■＜■，不等式不成立，但S5=■＜■，不等式成立；
　　当n≥6时，Sn＜1+■+■+■+■+(■-■)+L+(■-■)
　　　　    =■-■＜■＜，■不等式成立.
　　因此，Sn＜■对任意的n∈N*恒成立.
　　评析：放缩模型是大家非常熟悉的，但从上面的计算过程可以看出，证明并不是一帆风顺（也许我们内心更希望一步到位）.如果直接从第二项开始放大，每项都放大一点，聚少成多，结果就溢出了我们的目标.因此，需要调整放大的项.第二项开始不行，就从第三项开始，再不行，就从第四项开始，结果直到从第六项开始，我们才得到想要的结果.这一过程，始终在计算、比较，在不断否定中前行，最终顺利实现目标.没有计算之前，我们并不清楚究竟该从哪一项开始放大，计算就是为证明探路.这个探路过程需要学生全程参与，“通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神”，这正是数学运算核心素养的教育价值体现.学生在教师的引导下，始终抓住两个问题：结果溢出是不是方向错误？结果溢出后该怎么办？有思有算，才能真正实现数学运算核心素养的培养与训练.
　　2.调整方向，在比较中统一
　　师：上面的证明过程，选用了基本的放缩模型，但美中不足的是，计算过多，而且从第六项开始放缩，虽然证明了不等式，但放大后的结果与不等式右边（和式上限）有一定的差距.有没有可以减少计算过程的方式呢？在放大的过程中，我们发现是个变量，能不能考虑增量为常数的情形呢？
　　生：一般地，我们还有■＜■=■（■-■）(n≥2).
　　当n≥2时，Sn＜1+■(1-■)+■(■-■)+■(■-■)+■+L+■(■-■)
       =1+■(1-■+■-■+L+■-■)
       =1+■(1+■■-■)
       =■-■(■+■)＜■，不等式不成立；
　　当时，n≥3时，Sn＜1+■+■(■-■)+■(■-■)+■+L+■(■-■)
       =■+■(■-■+■-■+L+■-■)
       =■+■(■+■-■-■)
       =■-■(■+■)＜■，不等式成立，证毕.
　　师：显然，这种放缩法比第一种好.虽然没有利用到相邻项的相消，但证明（计算）过程明显比第一种要少，我们只用了2步，而且直接得到所要的和式上限.两者比较你能发现什么？
　　生：越接近n2的放缩效果越好，此时放大的量比较少.
　　师：这种方式能不能加强，使得证明过程一步完成呢？
　　生：可以尝试用■＜■=2(■-■)（n≥2）来放缩.
　　当n≥2时，Sn＜1+2(■-■)+2(■-■)+L+2(■-■)
       =1+2(■-■+■-■+L+■-■)
       =1+2(■-■)=■-■)＜■，不等式成立.
　　师：目的实现了，但问题也来了.这种放缩是巧合吗？为什么不选用■＜■或其他的形式呢？能不能从一般性上考虑问题？
　　设■＜■=■（■-■(n≥2，k≥1）.
　　在裂项相消求和时，我们最希望看到什么呢？
　　生：当然是希望分数的分母成为“相邻”的数，这样的消去是最有利的.
　　师：当nk+1成为nk-1的后一项，即nk+1=k(n+1)-1时，k=2，此时Sn＜1+■(■-■)＜■=■.这样，既解释了选用■＜■（n≥2）放缩的巧合性，也说明和式上限选用的依据.如果裂项相消是间隔相消，如nk+1=(n+2)k-1，则k=1，此时和式的上限为■，比■略大一点.
　　综合以上分析，我们可以发现，本题证明方式有一定的技巧性.一是目标（上限）是否直达的问题，放多了容易放弃证明；二是放缩式的选择，不同的方式对结果是有影响的.整个证明过程，对学生逻辑推理能力是一大考验.无论是第一种放缩方式，还是第二种放缩方式，都有可能因能力不足而选择放弃.至于说为什么选择■为上限，一是数字更简单，二是根据级数：1+■+■+L+■+L=■，可以发现■比■更接近于■
　　3.一点思考
　　通过对试题的深入分析与演算，洞悉试题背后的东西，知其源，也要知其所以然.这样的教学活动，比直接告之学生试题该怎么做要强一百倍，后者如果学生没有积累与巩固，要不了多久就忘了，这恐怕也是产生“试题讲了无数遍，越考越不会”这样抱怨的根源.对于一般学生而言，是记不了那么多技巧的.调动学生课堂参与的积极性，该放手的要放手（比如计算），该引导的一定要设置台阶，循循善诱，只有这样，才能真正把核心素养培养落到实处，使学生学有所获，做有所得.
　　参考文献：
　　[1]人教社课程教材研究所.数学4（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007年第3版.
　　[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018年1月第1版.
　　[3]史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读 [M].北京：高等教育出版社，2018年5月第1版.
　　本文是2018年度湖北省教育科学规划课题：在高中校本资源库建设中渗透学科核心素养的研究（JB281）的的阶段研究成果.
　　作者简介：李秀元，中学数学高级教师，黄冈名师.在《数学通讯》《中学数学教学参考》《中学数学》《数学教学通讯》等杂志发表数学研究文章30余篇.

• 【发布时间】2020/12/5 22:51:15
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