——以解析几何为例

　　摘 要：创设问题情境，以任务驱动为主要形式的教学模式，在引导学生如何学，培养学生学习兴趣，提升学科核心素养等方面发挥着重要作用。以解析几何为例，从教材知识体系，教材例题及教材习题等3个方面，谈问题驱动源的选择与构建。
　　关键词：问题驱动；案例教学；解析几何
　　《普通高中数学课程标准（2017年版）》在教学建议中说，“要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学，引导学生会学数学，养成良好的学习习惯，要努力激发学生数学学习的兴趣，促使更多的学生热爱数学”。创设问题情境，以任务驱动为主要形式的教学模式，在引导学生如何学，培养学生学习兴趣等方面发挥着重要作用。在教学活动中，结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养，创设合适的教学情境和问题，以问题解决驱动教学纵深发展，引导学生用数学的眼光去观察现象，发现问题，使用恰当的数学语言、模型描述问题，用数学的思想、方法去解决问题；在问题解决中理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的发展。
　　相对于教材中设置的探究活动，给定一个数学问题，在小范围内解决一个知识点，我们认为，问题驱动教学模式可能更广泛、更普遍、更全面，需要教师根据教学内容，选择适当的素材，提出一个可以广泛研究、有应用价值的问题（而不仅仅是教授知识点，完善知识体系），带领学生去做深入研究，以培养学生发现问题的意识，形成研究问题的范式，最终提升学生学科核心素养。提出合适的数学问题，对老师来说是有挑战性的，“要不断学习、探索、研究、实践，提升自身的数学素养，了解数学知识之间、数学与生活、数学与其他学科的联系”，开发的案例要“符合学生认知规律，有助于提升学生数学学科核心素养”。
　　任务驱动源问题来源广泛，俯拾皆是。下面结合解析几何（包括直线与方程、圆与方程，以及圆锥曲线等）教学，谈谈源问题的选择与构建。
　　源于教材知识体系
　　无论是哪种教材，呈现的都是知识的学术形态，是知识发展过程中的最优化成果，教学过程就是要把知识的学术形态转化成教育形态，展示教师的教育力，提升学生的学习力。因此知识的发生发展可以成为问题驱动源。
　　案例一  点到直线的距离
　　在初中我们就知道，点线之间垂线段最短。如何将这种感性知识转换成数字度量？这成为本节课任务驱动的导向之问，旨在引导学生进行知识沟通，明确问题导向，既不让人感到提出问题的突兀，又能加强初高中知识的联通，更为后续求最值提供思路。如何确定点到直线的距离？这是任务驱动的核心之问。从教学任务完成的角度，我们只需要向学生传授点到直线距离公式的一种推导方法，掌握公式的结构特点，会求点线距离即可。但从能力培养、素养提升角度，这是远远不够的。在不影响教学进度的前提下，可以提前给学生布置任务，搜集或者探索点到直线距离的求法，课堂上以成果展示或者汇报的方式，亦或者是阅读课形式，介绍基于其他知识的各种方法，既扩大学生的视野，又能从中比较各种方法的优劣，感受新知产生对教学、生活的影响；从繁复的运算中，体会数学运算核心素养的内涵与培养方式。从点到直线的距离公式推导过程中，我们该学什么？又学到了什么？成为本节课任务驱动的灵魂之问。让学生汇报学习收获，意在训练学生语言表达能力。学会交流，除知识方法之外，展示数学活动过程，分享数学活动经验，传播数学活动收获与遇到的困惑等，都是重要组成部分，其中，合作学习制度下的小组汇报，是最主要的外在表现形式。
　　源于教材例题
　　如果说教材知识体系是经过反复锤炼、字斟句酌的结果，那么，教材例题则是经典中的经典，蕴含着丰富的数学思想和方法，甚至某些例题能揭示一类问题的性质，是值得深入研究，适度拓展的。
　　案例二  平行四边形边长与对角线的关系
　　证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
　　这是教材用来展示解析几何方法——坐标法的例题，涉及到如何利用已知条件建立坐标系，如何表示点的坐标，以及如何确定线段长度等处理数学问题的技巧和方法，坐标是教学核心，简洁是教学追求。
　　就本节知识而言，似乎只能点到为止，然而总让人觉得意犹未尽，不问不快。
　　导向之问。我们知道直角三角形三边满足勾股定理，即斜边的平方等于两直角边的平方和。将两个全等直角三角形拼成一个矩形，斜边成为矩形的对角线，如何刻画矩形对角线与矩形边长的关系呢？如果将矩形“压扁”成平行四边形，这种关系还成立吗？
　　核心之问。如何证明或否定以上关系？你能想到哪些方法？
　　从特殊结构中寻找数量关系，试图将其推广，这是数学研究的常规模式，也是一些结论寻根溯源的主要方式。命题的证明与否定，使得问题更开放，符合当下课改精神。一旦确定命题是真的，就得想一想，有哪些方法可以证明命题。从角度出发，可借助余弦定理来建立等式；从距离出发，可以建立平面直角坐标系，用解析法；从长度出发，可以借助向量线性表示，用向量法，而且向量坐标法正好对应解析法。于是一道例题沟通了解析几何、解三角形和平面向量等3章知识，作用增强了。
　　灵魂之问。命题揭示了什么？
　　仅仅完成命题的证明，我们认为还不够，得研究命题的本质，从中发掘有价值的东西。基于平行四边形的结构特点，改变命题结构，可以得到任意三角形中线长与三边的关系，这又是教材习题反复提到的一个结论：中线长定理。于是，通过深究例题背后揭示的本质，我们再次将教材不同章节知识汇集在一起，沟通了不同知识间的联系。这应该是数学例题教学，尤其是复习课的终极目标。
　　案例三  圆锥曲线的统一性质
　　圆锥曲线的性质很多，有没有统一性质呢？如何统一？我们试图在例题中找到答案。
　　例题  设点A,B，的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是■，求点M的轨迹方程。
　　探究  点A，B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是■，试求M点的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。与上面例题比较，你有什么发现？
　　新课教学，例题仅仅是例题，很难发现它揭示了椭圆的性质，直至双曲线中的探究，才让我们回望例题，研究例题，推广例题，寻找性质的统一。
　　通过对椭圆的研究，至少我们可以得到以下三个结论。
　　结论1  椭圆■+■=1（a＞b＞0）上任一点与长轴端点连线斜率之积为-■。
　　结论2  椭圆■+■=1（a＞b＞0）上任一点与短轴端点连线斜率之积为-■。
　　结论3  椭圆■+■=1（a＞b＞0）上任一点与椭圆直径（过原点的直线与椭圆相交）端点连线斜率之积为-■。
　　类比椭圆，又得到双曲线的两个结论。
　　结论4  双曲线■-■=1（a＞b,b＞0）上任一点与实轴端点连线斜率之积为■。
　　结论5  双曲线■-■=1（a＞b,b＞0）上任一点与双曲线直径（过原点的直线与双曲线相交）端点连线斜率之积为■。
　　至此，例题似乎已经升华到了极点，其实不然。如果考虑焦点在y轴上的椭圆和双曲线，由于两坐标轴互换，因此斜率互为倒数，斜率积的形式发生改变，分别得到■和■。这恐怕还不是终点，虽然发现了规律，但定值不一样，有没有可能将其统一，使得结论唯一呢？把焦点在x轴和y轴上的椭圆与双曲线统一起来，设椭圆方程为■+■=1（A＞0，B＞0，A≠B），双曲线方程为■-■=1（AB＜0），则以上结果可统一成-■。如果再将圆方程表示为■+■=1（A＞0，B＞0，A=B），由于直径所对圆周角为直角，直线垂直时斜率积为-1（-■），这样，3个关于原点成中心对称的二次曲线就有了统一性质，而且，结论3和结论5也找到了变通的依据，即类比了圆的任一直径。
　　源于教材习题
　　如果说例题是引领和示范，那么课后习题则是检测与考核，检测学生对知识点掌握情况，考核能力水平高低，是对某些知识的进一步升华。下面的两类问题，分别揭示了圆的第二定义和圆的切线方程等，是非常不错的问题源。
　　案例4  圆的第二定义
　　练习1  已知点M与两个定点O(0,0)A(3,0)，的距离的比为■，求M点的轨迹方程；
　　例题  已知点P(2,0)，Q(8,0)，点M与点P的距离是它与点Q的距离的■，求点M的轨迹方程（见阅读材料）；
　　练习2  已知点M与两个定点M1，M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程。
　　求轨迹方程是解析几何的常见问题，一是利用轨迹类型求方程，二是通过条件求方程，后者是重点，通过轨迹方程可以识别出轨迹类型。前2道题形式一致，数据不同，但求出的轨迹类型都是圆，自然要追问：与两定点距离之比为正常数的动点轨迹是不是圆？围绕练习2，对问题进行一般化研究，解开谜团就是一次任务驱动。有了一般化结论，就可以进行数学应用了，比如
　　在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是腰AC上一点，满足BA+BC=2BD，且|BD|=■，则S△ABC面积的最大值为        。
　　这道题解法很多，但运用圆的第二定义可以实现快速求解。
　　由BA+BC=2BD知，D是AC的中点。又AB=AC，所以AB=2AD，故点A的轨迹是圆，且圆心在直线BD上。而三角形ABC的面积等于三角形ABD面积的两倍，即BD与点A到BD的距离的乘积。当点A到BD的距离最大，即取圆的半径时，三角形ABC面积最大。








　　建立如图示平面直角坐标系，则B(0,0)，D(■,0)。设A(x,y)，由AB=2AD求得点A的轨迹方程为(x-■)2+y2=■，圆的半径为■，所以三角形ABC面积的最大值为■×■=■。
　　案例5  圆的切线方程与切点弦方程
　　练习  已知点P(-2,-3)和圆Q：(x-4)2+(y-2)2=9。
　　（1）画出以PQ为直径，Q'为圆心的圆，再求出它的方程；
　　（2）作出以Q为圆心的圆和以Q'为圆心的圆的两个交点A，B，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
　　（3）求直线AB的方程。
　　初中平面几何从图形角度研究了圆的切线及其性质，但高中没有涉及到圆的切线方程。这道题为圆的切线方程作了很好的弥补。围绕圆的切线，我们可以展开如下研究。
　　过一点如何作圆的切线？有几条？
　　点在圆上，如何确定唯一的切线方程？
　　点在圆外，可以作出2条切线，切点是确定的，因此，切点连线（切点弦）也是确定的，如何求出这条直线方程？
　　3个问题，尤其是后两个问题的研究，把练习题背后的东西全挖掘出来了，既贴近教学，梳理了知识，又给学生指导了数学问题的研究方法，一举多得。
　　下面给出一道基于本题解法的高考题，由此也可以看出对教材习题研究的好处。
　　（2020年高考全国卷I理科第11题）已知圆M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点。过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为
　　A.2x-y-1=0      B.2x+y-1=0
　　C.2x-y+1=0      D.2x+y+1=0  
　　如图示，显然有PM⊥AB，因此|PM|·|AB|为四边形PAMB的面积，也即三角形PAM面积的2倍。要使三角形PAM面积最小，则PA取最小值，也即PM取最小值，此时PM⊥l，只需要求出点P的坐标即可，因为直线AB为圆M和以PM为直径的圆的公共弦，两圆方程相减即得直线AB的方程。








　　除了这些方法外，问题源的开发，还可以是平时训练题和各种考试题，尤其是高考试题，更贴近数学教材和教学实际，这里不一一列举。如果能从生活实际出发，开发出与教学内容相关的问题源，对学生的吸引力会更大。当然，我们也只是在问题源上作了一些尝试，是教师基本功展示，真正对学生起到关键作用的，恐怕还是研究意识和方法，能影响到学生以后的生活，这才是课程标准下教学活动的终极目标。
　　参考文献：
　　[1]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.
　　[2]人教社课程教材室.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007.
　　[3]人教社课程教材室.普通高中课程标准实验教科书数学必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.
　　[4]李秀元.由教材例习题引发的思考[J].中学数学教学参考：2004（03）：6-7.
　　[5]李秀元. 从一道测试题到自主招生考试题——兼谈切点弦的两种处理方法[J].中学数学教学参考，2014（07）：25-26.
　　[6]李秀元.转变知识形态，促进能力发展[C].黄冈名师谈教学，2018（194-201）.
　　作者简介：李秀元（1973.11-），男，中学高级教师，黄冈名师。主要从事高中课堂教学研究。武刚（1976.1-），男，湖北黄冈人。主要从事高中数学教学研究。

• 【发布时间】2021/4/6 18:00:20
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