——以福建省2020年中考试卷的题21为例

  摘 要：中考命题者在设置命题时不仅会落实核心素养的考查，而且会多维度测试学生能力，创设一题多解题型，考查学生个体思维素养.教师在教学中要把握评价内涵，精准设计课堂教学，真正提升学生的数学核心素养.
　　关键词：数学核心素养；一题多解
　　《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称“《课标（2011年版）》”）提出了10个核心概念非常具有指导性，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识.中考数学的命题者也会把数学核心素养的考查放在十分重要的位置，试图通过命题评价引导教学.就2020年福建中考卷而言，全卷的每个试题都具备了一定的核心素养评价功能，也就是说其能够测试出考生核心素养处于哪一水平.文章通过2020年福建省中考试卷中的第21题为例进行阐述.
　　一、试题来源
　　【2020年福建省中考卷第21题】：如图，AB与⊙O 相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是（BCD）上不与B，D重合的点，sinA=■.
　　求∠BED的大小；
　　若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF=3■，求证：DF与⊙O相切.








　　二、试题评价
　　2020年福建省初中数学毕业升学考试的命题设计符合《课标（2011年版）》要求，试题结构合理，知识覆盖面广，重点突出，难度比例适当.在考查学生对核心知识理解、掌握程度的同时，进一步考查学生将知识迁移到类似情境的能力，从而检测学生已有的和潜在的后续学习能力，体现考基础、考能力、考素养的学业评价目标测试.对教师教学理念的转变、教师教学行为的改善、学生学习方式的创新、衔接高中学习都具有积极的导向作用.
　　2020年福建省初中数学毕业升学考试的命题也体现了数学核心素养的考查.由于数学的核心素养是综合体现在每一个问题中，一个题目并非只是独立考查某个数学核心素养，下面就选福建中考试卷中的第21题为例，针对该题的知识结构和侧重的数学核心素养进行阐述：
　　第21题是以圆和直角三角形为背景，考查圆的有关性质，直线与圆相切、特殊角的锐角三角函数、解直角三角形、线段中点、三角形中位线、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、直角三角形中线的性质定理与逆定理等初中几何知识，反映演绎推理与合情推理的关系，结合数学运算能力的考查，学生需要通过已有经验，对图形进行分析、提炼、联想、重构，才能使问题得到有效的解决.
　　本题中问题（1）考查了三角形的外角定理、圆周角定理、圆的切线性质、300角的三角函数值.首先根据圆周角定理，发现∠BED=■∠BOD，不然发现∠BOD是△ABO的一个外角，由条件sinA=■，易得∠A=300，加上圆切线的性质可以发现△ABO为直角三角形，通过计算得到∠BED=600；问题（2）是考查圆的切线的证明方法，在圆的切线学习中，归纳出证明切线的两种常见题型：①如本题中已知直线与圆的交点D，只需要连结圆心O与交点D，最后证明∠ADF=900，即可得DF为⊙O切线；②如果题目中直线与圆的交点未知，则需要过圆心作目标切线的垂线，构造辅助线后，证明构造的垂线段长度等于半径长度.本题中显然属于第①类题型，所以最终目标等价于证明∠ADF=900.下面提供问题（2）的三种解法并整理归纳：
　　三、试题多解
　　解法1：渗透逻辑推理素养、运算素养
　　如图1，因为AB与⊙O 相切于点B，所以∠AB0=900
　　在Rt△ABO中，因为sinA=■，OB=3，
　　所以∠A=300，OA=20B=6，AB=■=3■
　　又因为BF=3■，所以AF=AB+BF=6■，  AD=AO+OD=6+3=9，
　　所以 ■=■=■，■=■=■
　　所以 ■=■，又因为∠A=∠A
　　所以△ABO∽△ADF
　　所以∠ADF=∠AB0=900. 即DF与⊙O相切.











　　点评该解题思路是利用三角形相似：△ABO∽△ADF，得到角度相等：∠ADF=∠ABO=900.本题中隐藏着300角的直角三角模型、“反A结构相似”模型，需要学生通过题目信息把隐藏量挖掘出来，很好考查了学生观察图形能力、逻辑思维能力、运算能力等，本题虽然难度不大，但是能从多种角度出发，得到不同的解法，不同解法中又渗透不同的核心素养，是好题，此种解法就渗透了数学的逻辑推理素养、运算素养.
　　解法2：渗透直观想象素养
　　如图2，连结BD.由（1）知∠BED=600，∠BOD=1200，
　　又因为OB=OD，所以∠OBD=∠ODB=300
　　同解法1得，∠A=300，AB=BF=3■，
　　所以∠A=∠ODB，所以AB=BD=BF，
　　所以∠ADF=900.（理由：直角三角形斜边中线的逆定理）
　　即DF与⊙O相切.











　　点评 此种解法渗透了数学的直观想象素养、数学模型素养.该解题思路是发现题中的隐藏量——线段中点，即点B是线段AF的中点问题.遇到线段中点问题，自然联想到中点的相关知识，如：三角形中位线、直角三角形的中线定理与逆定理、倍长中线的辅助线构造法等，解法2中涉及到的知识结构有等腰三角形的性质、圆的定义、直角三角形斜边中线的逆定理. 当然，如果对直角三角形斜边中线的逆定理不熟悉，也可以通过证明∠DBF=∠OBF-∠OBD=900-300=600，得到△BDF是等边三角形，所以∠BDF=600，即∠ADF=∠ADB+∠BDF=300+600=900.不过为了让同学们能更自然地把数学知识联系起来，在日常的复习教学中还是应该鼓励同学多思考并整理，帮助同学归纳出一些常见图形的基本模型，共同挖掘出图形中隐藏的问题本质，理清题目本身的内涵，这对学生的学习将会事半功倍.
　　解法3：渗透数学模型素养、知识迁移素养
　　如图3，过点B作BH⊥AD，垂足为点H.
　　同解法1得，∠A=300，OA=20B=6，AB=3■，AD=9
　　在Rt△ABH中，因为cosA=■=■，所以AH=■，
　　所以AH=■ AD，即点H是线段AD的中点
　　又因为AB=BF=3■，即点B为线段AF的中点
　　因为BH是△ADF的中位线，所以BH∥DF，
　　所以∠ADF=∠AHB=900. 即DF与⊙O相切.









　　点评通过构造直角△ABO斜边上的高线BH，得到常见的射影定理模型，再结合解直角三角形、三角形中位线定理便可求证.其中射影定理模型是中考的高频考点、解直角三角形不仅是初中几何的一个重点也是中考的一个热点，学生对这两者都是十分的熟悉，此种解法渗透了数学模型素养、知识迁移素养.
　　四、教学导向
　　数学核心素养蕴含在知识的发生、发展和应用过程中.在核心素养的倡导下，初中数学课堂的教学导向至关重要，不仅要培养学生的逻辑思维能力，还要培养学生的分析数据能力、解题能力和学习能力，笔者认为今后的教学导向有三点：
　　第一，“立足基础知识，充分理解概念”的教学导向.这有利于帮助学生高效吸收教师课堂上的新知识点，更加透彻理解教材的重难点；
　　第二，“寻找经典引例，剖析解题步骤”的教学导向.这有助于学生及时巩固课堂所学知识，并且可以帮助学生理清解题思路，明确解题步骤；
　　第三，“充分利用错题，掌握解题技巧”的教学导向.这有助于消除学生在同一类题型上出现的同样错误的现象，帮助学生对初中数学知识理解得更加透彻；
　　总之，在核心素养的视角下，初中的数学的复习教学课堂，应将重点落在知识的整合、应用和提升方面，注重细节和方法指导，优化课堂教学设计，促进学生对数学知识的本质理解，培养学生的数学思维能力以及解决问题的能力，真正提升学生的数学学科素养。
　　参考文献：
　　[1]余文森. 核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.
　　[2]何萍.基于核心素养视角的数学测评研究[J].数学教学通讯，2018（10）：03-05.

• 【发布时间】2021/4/6 18:06:52
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