——以“圆的面积”推导为例

  摘 要：现在的数学教学不仅仅是数学知识的传授，更应关注数学思想方法和数学文化的渗透。新课程标准中提出了三大基本思想：抽象、推理、模型。圆的面积推导过程就是将圆转化成我们已经学习过的长方形、三角形或梯形，利用已有的旧知识解决新问题，该过程能有效的渗透数学思想，发展学生的推理能力和创新意识。
　　关键词：圆的面积；数学思想；转化思想；极限思想；几何直观
　　面积是小学数学“图形与几何”领域中非常重要的内容，从正方形、长方形的面积到平行四边形、三角形，再到梯形，最后再学习圆的面积。教材借助几何直观，处处体现着转化思想和推理思想，能有效的培养和发展学生的数学核心素养。
　　新课程标准指出，数学教学要培养学生的“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，而基本思想指：抽象、模型和推理①。“圆的面积”这一课是学生在现实情境下从操作验证走向推理论证，实现数学“再创造”的过程，是学生积累数学活动经验和发展数学核心素养的有效课程②，能有效的沟通知识之间的联系，渗透数学思想。
　　“图形与几何”部分的教学，要借助几何直观，帮助学生建立空间观念。史宁中教授建议我们，在教学中要利用几何直观来讲几何知识。他指出：并非画出几何图形就可以称为借助几何直观，而是需要借助几何图形发现所研究图形的本质、关系或规律③。那么“圆的面积”一课应如何借助几何直观进行面积推导呢？
　　人教版课本是通过分割、转化，将圆的面积转化成平行四边形，进而转化成长方形进行推导的。过程如下：
　　在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼（如图1），你能发现什么？







　　分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于一个长方形（如图2）。






　　通过观察，我们可以看出圆的半径是，长方形的长近似于圆的周长的一半，宽近似于半径。因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=周长的一半×半径=■×r=πr2，即圆的面积公式是：S=πr2。
　　在上述的过程中，渗透了转化的数学思想，将未知的圆转化成平行四边形；再由极限的数学思想，将平行四边形近似的看成长方形；而后又由变与不变的数学思想，将长方形的面积与圆的面积沟通起来，最终得出圆的计算公式，在整个推导过程中始终渗透推理的数学思想。
　　冀教版教材在利用上述方法推导圆的面积公式之前，又采用了以下的方法让学生初步感知圆的面积计算公式。
　　把一个半径是10厘米的圆形飞镖板平均分成20份，估算一下这块飞镖板的面积（如图3）。









　　我们可以将每一份近似看成底是圆的周长的■，高是10厘米的等腰三角形，通过计算我们可以得到一份的面积约是2×3.14×10×■×10÷2=15.7(cm2)，所以圆的面积就是20×15.7=314(cm2)。
　　在此基础上如果将飞镖板的半径用字母表示，将飞镖板平均分成份，我们不难推出圆的面积公式是：S=■×r÷2×n=πr2。
　　在上述的推导过程中，我们利用了极限的思想，分得份数越多，每一份就越接近一个三角形；我们还利用了转化的数学思想，将圆的面积转化为三角形的面积进行求解。
　　我们看到，不论是人教版还是冀教版教材，在推导过程中，都是将圆平均分推导出来的，除了以上的推导方法，我们还有其它的方法吗？答案是一定的，但是无论怎样进行推导，其基本思想是不变的。
　　我们还是按照平均分的思路，如果不像第一种方法那样拼，我们把第一行放1个，第二行放3个，第三行放5个，第四行放7个，这样也恰好可以拼成三角形（如图4）。












　　所拼得的三角形的底是圆的周长的■，高是4r，我们不难推出圆的面积为：S=■×4r×■Cr=πr2。
　　当然稍加思考，我们可以将其拼成一个梯形（如图5）。











　　所拼得的梯形是上底是圆的周长的■，下底是圆的周长的■，高是2r，我们也不难推出圆的面积为：S=(■+■)×2r×■=■Cr=πr2。
　　通过上述的分析，我们不难得出圆的面积推导过程就是把圆等分，拼接，转化成已知的图形，但是我们要注意，上述的过程要求都是偶数等分，如果是奇数等分，可以吗？我们不妨把圆5等分，再拼接成以下图形（如图6）。






　　我们可以发现，拼接后的图形类似一个等腰梯形，分得的份数越多，就会越接近等腰梯形。梯形的上底是周长的■，下底是周长的■，高是半径（r），这样就可以根据梯形面积公式得到圆的面积为：S=(■+■)×r×■=■Cr=πr2。
　　当然在图6的基础上，我们还可以按照梯形面积公式的推导过程，将其中的一个小扇形再平均分成两份，拼接到两侧（如图7），这样也可以转化成长方形进行推导。





　　我们现在将圆进行如下分割，在一个圆中做出它的同心圆，并使它们的半径成等差数列，及相邻的两个圆的半径之差（环宽）相等，如图8所示：








　　我们将这些同心圆沿红色的线剪开，可以近似得到以下两种不同的图形。（如图9，图10）













　　一种三角形的底是圆的周长，高是半径的等腰三角形，所以圆的面积三角形的面积=C×r×■=πr2。
　　另一种三角形是直角边分别为圆的周长和圆的半径的直角三角形，所以圆的面积三角形的面积。
　　到此，你是不是觉得圆的面积公式的推导方法很多了，其实还有很多，比如我们可以把圆看作是正n边形，通过求n边形的面积，最终通过求极限得到圆的面积；我们还可以通过微积分推导圆的面积公式。
　　圆的面积公式推导方法可能还有很多，但是我们可以总结两点，一是利用转化，将曲线型图形转化成直线型图形（其实平面图形的面积推导都是转化成已知图形得到的），这样可以有效的帮助学生对所学知识进行重组、构建，二是利用高等数学中极限和微积分知识推导。
　　参考文献：
　　[1]义务教育数学课程标准（2011版）  北京师范大学出版集团  2012（1） 8
　　[2]魏闲妹  廖运章  小学“圆的面积”教学蕴涵的数学学科核心素养  小学数学参考  2020（32） 29—31
　　[3]史宁中  例说小学数学中的几何直观  小学数学 2017.10  5—7

• 【发布时间】2021/4/6 18:13:56
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