——高考全国卷题不同解法的教学启示

  摘 要：2017年高考全国理综Ⅰ卷第21题是一道共点力平衡问题，该题可采用多种解题方法进行解题，其中借助几何圆的特点创新解法最为方便，侧重对应用数学方法解决物理实际问题能力及科学思维和方法的考查，本文通过对不同解法的对比分析，得到一些教学启示。
　　关键词：2017年高考题数理结合创新思维教学启示
　　数学是工具，物理是应用。著名物理学家、数学家笛卡尔创立了著名的平面直角坐标系，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父，笛卡尔甚至认为全部物理学都可以归结为几何。可见数理结合在物理学习中的重要性。
　　2017年高考全国理综Ⅰ卷第21题是一道共点力平衡问题，考查考生对共点力平衡问题的理解和推理能力，侧重对应用数学方法解决物理实际问题能力及科学思维和方法的考查，体现了物理学科核心素养理念。
　　一、试题呈现
　　如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>■）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中
　　A．MN上的张力逐渐增大
　　B．MN上的张力先增大后减小
　　C．OM上的张力逐渐增大
　　D．OM上的张力先增大后减小








　　二、解题思路
　　通过分析该题目，发现本题是一个动态共点力（三力）平衡问题，主要的突破点是保持两绳的夹角α不变；再分析题目选项可知，对本题的要求是定性判断两个绳子张力的变化过程，并非定量求解。常见解题思路有如下四种：
　　（一）解法一
　　如图2，设MN上的张力为T，OM上的张力为F，考虑在缓慢拉起的过程中重物都可以看作静止状态。当OM与竖直方向成任意θ角时，由受力分析有

























　　可知T随θ的变化为单调上升，在θ由0增加至■的过程中，MN上的张力T逐渐增大，选项A正确。由于OM与MN之间的夹角α>■，所以在由0增加至■的过程中，α-θ的值先由大于■减小至■后，进一步再减小，相应sin（α-θ）的值先增加后减小，即OM上的张力F先增大后减小，选项D正确。
　　该解题思路运用了简单的受力分析，抓住共点力平衡的特点，利用了正交分解的思想，找到水平方向和竖直方向分力的关系，在教学过程中，可以注重培养学生对数学方法在物理中运用的敏感度，比如该题在受力分析后学生应该能够捕捉到完整的受力分析和三角函数间的关系，并能够通过三角函数中两角和等公式快速化简得到力与角度的关系式。但是数据处理过程对三角函数灵活运用要求较高，充分体现了试题数理结合的特点。
　　（二）解法二














　　如图5所示，初始时OM上的张力等于重物的重力，MN上张力为0。保持夹角α不变，将重物向右上方缓慢拉起时，两段轻绳的张力合力始终与重力等大反向，如图6所示，将合力分解为夹角恒定为α的两个方向上（某一种情况）。













　　按照不同方向进行分解可以得到图7所示，在图7中OM绳上的张力变化情况如左箭头所示，MN绳上的张力变化情况如右箭头所示，两者夹角恒定不变，分析图7线段长短的变化可知，在将OM拉至水平的过程中，MN上的张力逐渐增大，OM上的张力先增大后减小，故A、D项正确。
　　该解题思路比上一种解法巧妙，不仅要求学生会受力分析，而且能够准确地画出受力分析图。从受力分析图中抽取出具体的几何模型并想象出其动态平衡过程，从而快速做出草图，找到两个力的变化。学生该方法主要在于熟练地掌握、运用平行四边形定则对共点力进行合成，通过画出不同位置的受力分析图，由几何关系找到力变化的规律，本解题方法对几何作图能力要求较高，也充分体现了试题数理结合的特点。
　　（三）解法三











　　对M在某一位置受力分析可知，它受到三个力的作用，分别是重力G，MN上的张力F，OM上的张力T。由题意可知，在将重物向右上方缓慢拉起的N过程中，重物M始终处于平衡状态，三力的合力始终为零，OM与MN之间的夹角α保持不变，即张力F、T之间的夹角也保持不变。借助圆的知识可知，同弧所对的圆周角相等，可在圆内构建矢量三角形（图10）在OM由竖直被拉到水平的过程中，即F转至水平的过程中（如图11的位置4），图中线段长短的变化对应力的大小变化，则MN上的张力T逐渐增大，OM上的张力F先增大后减小，所以正确答案是AD
　　分析该解题思路，可知在教学过程中需要注重引导学生对知识结构、知识脉络的形成，让学生可以通过单个知识点快速辐射成知识面从而找到解题的快捷路径。重物受到三个力的作用而达到动态平衡，可以想到要构建封闭的矢量三角形，但是本题的最大难点在于应用数学知识来处理物理问题。在看到夹角α不变时，想到可使用圆周角定理的推论，同一圆弧所对应的圆周角相等来解决问题。将重物移动过程中的受力情况图象化，从而观察力的变化，化繁为简。
　　（四）解法四










　　根据拉密原理：同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任意一个力与其它两个力夹角正弦的比值相等，即■=■=■（其实质就是正弦定理的变形）。本题受力分析后可得到■=■=■。由图14到图15到图16动态变化过程中，G与α保持不变；β角由1800变化到900，则sinβ一直变大，所以T一直变大；γ角由锐角变化到钝角，则sinγ先变大后变小。所以正确答案是AD
　　分析该解题思路，可知在教学过程中需要注重给学生补充一些必要的数学原理及物理原理，对于三个共点力平衡问题可以运用拉密原理快速解题。
　　三、试题启示
　　本题四种方法均很好地说明了数理结合的重要性，对比四种解题思路，我们也发现数学的灵活运用对解题过程起着至关重要的作用，第一种三角函数的方法可以理解成数学物理结合的第一个的层次——“暴力解题”，简单的物理分析转化成基本数学函数问题，求解数学方程得到结果。第二种平行四边形作图法可以理解成数学物理结合的第二个层次——“灵活解题”，通过简单的物理分析后，再利用力的平行四边定则转化成几何图象，通过系列几何图象的对比分析得到结果。第三种三角形定则结合圆的特性及第四种通过拉密定理解题可以理解为数学物理结合的第三个层次——“巧妙解题”，通过对题目的分析找到夹角不变的突破点再结合圆周角定理巧妙地得到结果。
　　本题给出了一个貌似熟悉，其实比较抽象的物理过程（主要是构建空间动态模型的能力）。对“必备知识、关键能力”等硬指标进行了全面的考查，而在不同的解题思路中给我们的物理教学带来以下几点启示：
　　1.注重基础知识，基础模型的教学，重视“物理观念”在教学中的达成。本题就是由一个简单的三力平衡问题延伸出来，只有在平时教学中重视基本模型（普通三力平衡受力分析）的掌握，才能让学生学会变通。
　　2.注重物理方法的落实，提高学生的分析能力。平行四边形定则是是解决本题的前提。在教学中我们要注重学生对基本定则的熟练掌握
　　3.注重数理结合的练习，提高数学解题能力。许多物理问题通过物理表征之后便成了数学问题，我们应注重平面几何、三角函数、代数等数学知识的练习，从而提高考生运用数学知识解决物理问题的能力。
　　总之，该高考题是一道典型的共点力平衡问题，突出了对力学基本知识的考查，侧重对学生应用数学知识处理物理问题能力的考查，注重对科学思维的系统性、广阔性、逻辑性、创新性及灵活性等要求的考查，体现了物理学科核心素养理念。通过三种解题方法的对比，我们也不难发现在高考物理部分题目解题过程中，巧妙地结合数学知识能够给解题带来极大的便利。
　　参考文献：
　　[1]陈显盈 金邦建.一道高考题的快速解题方法[J].物理教师，2015 （7）：76.
　　[2]丁浩然 侯恕.基于STEAM教育与核心素养的高考题评析及教学启示[J].中学物理，2018，36（7）：52-53.
　　作者简介：邹法强（1990-），男，中小学一级教师，主要从事高中物理教学工作。

• 【发布时间】2021/4/6 18:32:58
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