2024年10期
系统误差与偶然误差之辩 ——21年全国乙卷23题交流探讨
【关键词】 ；
【正文】 一、引言
前几天对全国理综乙卷第23题进行了评析，有些朋友就交流自己的解析，今天分享一些思考，聚焦系统误差和偶然误差主题。
二、真题
一实验小组利用图（a）所示的电路测量一电池的电动势E（约1.5V）和内阻r（小于2Ω）。图中电压表量程为1V，内阻RV=380.0Ω；定值电阻R0=20.0Ω；电阻箱R，最大阻值为999.9Ω；S为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
（1）为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选用 Ω（填“5.0”或“15.0”）；
（2）闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
（3）根据图（a）所示电路，用R、R0、RV、E和r表示■，得■=
；
（4）利用测量数据，做图线■——R，如图（b）所示：
（5）通过图（b）可得E= V（保留2位小数），r= Ω（保留1位小数）；
（6）若将图（a）中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E，由此产生的误差为|■|×100%= %。
三、解析
四、反思
关于电动势和内阻计算，不同人从图像上读取信息不同，计算路径不同，则会导致计算结果有差异。这一点，通过展示各位老师的解析已经看得非常明白。事实上，这是读数偶然误差和计算误差耦合的结果，这是物理实验的客观特点，计算结果差异正反映了偶然误差和计算误差。
今天，作为反思性教研，我们关注第（6）小题相对误差所折射的问题。之所以会想到这个主题，原因就在于朋友解析与本人解析之差异的反思。初步看起来，朋友解析与本人解析似乎没有差异，但计算结果有些许差异，这是为何呢？导致这种差异，又反映了什么呢？又能给我们带来什么启示呢？
首先注意到，本人解析与朋友解析的差异性：
本人解析直接从纵坐标与横坐标的表达式上进行数学抽象推理，即斜率的物理意义进行推理，即k=E/19，k=E'/20，在这个基础上代入相对误差公式，得到相对误差大小。如此计算，发现相对误差大小跟实验测量结果无关。
朋友解析得到纵坐标与横坐标函数表达式之后，代入实验数据图像上的坐标值进行数值运算继而计算得到相对误差大小，如此计算相对误差大小跟实验测量结果或取图象中坐标取值有关。（认真分析起来，只要代入两组相同的实验数据，相对误差大小计算结果就相同，为5%，若计算与此结果略有差异，则为四舍五入带来计算误差。）
其次，相同的原理，不同的计算路径，为什么会有差异呢？
其实不难发现，本人用抽象的斜率k代入计算，最终作为公约数约去了，不会引入计算误差；朋友解析用具体数值代入计算（可能数值代入还存在不易发现的错误），在四舍五入计算中引入了计算误差。可见，这种差异来自于计算误差。
最后，要讨论误差这一概念。根据不同的分类标准，误差会有不同分类。
1、根据误差来源，分为偶然误差、系统误差和计算误差。
①在读数操作中形成的误差，称之为读数误差，也称为偶然误差。偶然误差是一定会有的，相比于真实值，有的可能偏大，有的可能偏小，从概率视角，偏大偏小的概率相等，因此通过多次读数，特别是更换读数主体多次读数，然后取平均值有利于减小偶然误差。
②由于实验方案、测量仪器导致的误差，称之为系统误差。系统误差要么偏大，要么偏小，通过改进实验方案，或了解仪器参数调整计算方法，可以完全消除系统误差。例如，在23题中，知道电压表内阻，在计算中考虑电压表内阻影响，就可以消除电压表内阻引起的系统误差；把电压表视为理想电压表但其内阻又不是无穷大，由此电压表产生的误差称之为系统误差。
③对于测量性实验而言，绝大多数都是间接测量，例如本题中的电源电动势和内阻通过改变电阻箱阻值测量定值电阻两端电压方式间接测量。间接测量要依据一定的实验原理构建数学模型（例如方程组模型、函数模型等）最终通过计算得到，在计算过程中若经历四舍五入中间计算操作，此时就会引入计算误差。本题中电源电动势和内阻测量，不同人会得到不同的实验结果，正是偶然误差和计算误差耦合的结果。
2、根据误差的计算方式，分为绝对误差和相对误差。
①实验值与真实值之差的绝对值称之为绝对误差；
②绝对误差值与真实值之比称之为相对误差。
不管是绝对误差，还是相对误差都是反映误差大小的表现方式。对不同来源误差进行定量分析计算其误差大小，则反映了不同来源误差的大小。
本题第（6）题就是计算电压表内阻引起的系统误差的相对误差大小，如果选用最恰当的计算方式，可以使计算过程避免四舍五入操作，因此计算结果是“唯一”的，而且“唯一”地反映了电压表内阻导致的系统误差大小。
五、启示
误差分析是高中物理实验中的重要内容，应当向学生传授基本的误差知识以及误差分析方法。在做有关实验题时，应该认真审题，明确命题人的考查意图，按题意作答，否则可能答非所问。例如本题第（6）题是计算电压表内阻引起的系统误差大小，不受实验过程中的仪表读数影响，即与偶然误差无关。因此做题时一定要选择正确的最佳的计算方法。
前几天对全国理综乙卷第23题进行了评析，有些朋友就交流自己的解析，今天分享一些思考，聚焦系统误差和偶然误差主题。
二、真题
一实验小组利用图（a）所示的电路测量一电池的电动势E（约1.5V）和内阻r（小于2Ω）。图中电压表量程为1V，内阻RV=380.0Ω；定值电阻R0=20.0Ω；电阻箱R，最大阻值为999.9Ω；S为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
（1）为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选用 Ω（填“5.0”或“15.0”）；
（2）闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
（3）根据图（a）所示电路，用R、R0、RV、E和r表示■，得■=
；
（4）利用测量数据，做图线■——R，如图（b）所示：
（5）通过图（b）可得E= V（保留2位小数），r= Ω（保留1位小数）；
（6）若将图（a）中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E，由此产生的误差为|■|×100%= %。
三、解析
四、反思
关于电动势和内阻计算，不同人从图像上读取信息不同，计算路径不同，则会导致计算结果有差异。这一点，通过展示各位老师的解析已经看得非常明白。事实上，这是读数偶然误差和计算误差耦合的结果，这是物理实验的客观特点，计算结果差异正反映了偶然误差和计算误差。
今天，作为反思性教研，我们关注第（6）小题相对误差所折射的问题。之所以会想到这个主题，原因就在于朋友解析与本人解析之差异的反思。初步看起来，朋友解析与本人解析似乎没有差异，但计算结果有些许差异，这是为何呢？导致这种差异，又反映了什么呢？又能给我们带来什么启示呢？
首先注意到，本人解析与朋友解析的差异性：
本人解析直接从纵坐标与横坐标的表达式上进行数学抽象推理，即斜率的物理意义进行推理，即k=E/19，k=E'/20，在这个基础上代入相对误差公式，得到相对误差大小。如此计算，发现相对误差大小跟实验测量结果无关。
朋友解析得到纵坐标与横坐标函数表达式之后，代入实验数据图像上的坐标值进行数值运算继而计算得到相对误差大小，如此计算相对误差大小跟实验测量结果或取图象中坐标取值有关。（认真分析起来，只要代入两组相同的实验数据，相对误差大小计算结果就相同，为5%，若计算与此结果略有差异，则为四舍五入带来计算误差。）
其次，相同的原理，不同的计算路径，为什么会有差异呢？
其实不难发现，本人用抽象的斜率k代入计算，最终作为公约数约去了，不会引入计算误差；朋友解析用具体数值代入计算（可能数值代入还存在不易发现的错误），在四舍五入计算中引入了计算误差。可见，这种差异来自于计算误差。
最后，要讨论误差这一概念。根据不同的分类标准，误差会有不同分类。
1、根据误差来源，分为偶然误差、系统误差和计算误差。
①在读数操作中形成的误差，称之为读数误差，也称为偶然误差。偶然误差是一定会有的，相比于真实值，有的可能偏大，有的可能偏小，从概率视角，偏大偏小的概率相等，因此通过多次读数，特别是更换读数主体多次读数，然后取平均值有利于减小偶然误差。
②由于实验方案、测量仪器导致的误差，称之为系统误差。系统误差要么偏大，要么偏小，通过改进实验方案，或了解仪器参数调整计算方法，可以完全消除系统误差。例如，在23题中，知道电压表内阻，在计算中考虑电压表内阻影响，就可以消除电压表内阻引起的系统误差；把电压表视为理想电压表但其内阻又不是无穷大，由此电压表产生的误差称之为系统误差。
③对于测量性实验而言，绝大多数都是间接测量，例如本题中的电源电动势和内阻通过改变电阻箱阻值测量定值电阻两端电压方式间接测量。间接测量要依据一定的实验原理构建数学模型（例如方程组模型、函数模型等）最终通过计算得到，在计算过程中若经历四舍五入中间计算操作，此时就会引入计算误差。本题中电源电动势和内阻测量，不同人会得到不同的实验结果，正是偶然误差和计算误差耦合的结果。
2、根据误差的计算方式，分为绝对误差和相对误差。
①实验值与真实值之差的绝对值称之为绝对误差；
②绝对误差值与真实值之比称之为相对误差。
不管是绝对误差，还是相对误差都是反映误差大小的表现方式。对不同来源误差进行定量分析计算其误差大小，则反映了不同来源误差的大小。
本题第（6）题就是计算电压表内阻引起的系统误差的相对误差大小，如果选用最恰当的计算方式，可以使计算过程避免四舍五入操作，因此计算结果是“唯一”的，而且“唯一”地反映了电压表内阻导致的系统误差大小。
五、启示
误差分析是高中物理实验中的重要内容，应当向学生传授基本的误差知识以及误差分析方法。在做有关实验题时，应该认真审题，明确命题人的考查意图，按题意作答，否则可能答非所问。例如本题第（6）题是计算电压表内阻引起的系统误差大小，不受实验过程中的仪表读数影响，即与偶然误差无关。因此做题时一定要选择正确的最佳的计算方法。
- 【发布时间】2021/8/2 15:34:17
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