2024年10期
利用APOS理论对正弦定理的教学研究
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：在新课程的教学中，正弦定理基本是按照讲练评的模式进行，这样会让学生形成一种固化的思维。利用APOS对正弦定理进行教学，从活动设计，过程阶段，对象阶段，图式阶段这四个步骤进行教学，加深学生对定理的形成过程和理解，从而在理解定理的角度来处理题目。
关键字：正弦定理；APOS
问题提出：
数学命题课型是学生接触最多的课型，命题课型包含数学公理、数学定理、数学性质、数学法则、数学公式等内容，考试涉及的内容比较多。解三角是每年高考必考的内容。很多学生反映解三角如果仅仅是考察正弦定理或者余弦定理，这个是比较简单的，但是如果把解三角作为一个背景复合其它内容，比如方程，函数思想，这样就会比较难。其实在我们的教学中，解三角的边角互化已经形成一种固定的思维模式，很多学生也是套用这个模式，但是这样明显违背了新课程改革初衷。
在我们的数学教学中，讲—练—评是用得最多的一种教学模式。根据高中数学新课程标准的要求，我们要构建共同基础，提供发展平台，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，强调本质，注意适度形式化，这几个方面在高考中有很明显的体现。因此，在新高考改革的背景下，这种模式是需要进行改进的。
解决问题：
一、APOS理论说明[2]
APOS理论认为，学习者在数学学习过程中，数学知识的习得需要进行心理建构，此过程包括四个阶段：
（1）Action（活动）阶段；（2）Process（过程）阶段
（3）Object（对象）阶段；（4）Scheme（图式）阶段
二、课堂设计：
（1）常规的正弦定理课堂设计：
一、三角形知识回顾
1．三角形分类 ； 2．三角形元素
3．三角形元素间的关系； 4．直角三角形的性质
二、正弦定理的推导
1．正弦定理 ； 2．正弦定理的变式
三、正弦定理的应用
这三个模块都是通过讲评练的形式来开展，因此很多学生只是记住了正弦定理这条公式，对于正弦定理的核心，也就是比值没有深刻的体会，导致后面很多题目做得比较被动。
（2）根据APOS设计的课堂：
第一阶段：感知阶段
课前知识讲解：在△ABC中，∠A记为A，∠B记为B，∠C记为C，边BC记为a，边AC记为b，边AB记为c。
探索三角形边角之间的关系，按4到5个人对学生进行分组，每组里面分为测量角度的人，测量长度的人，记录数据的人。每一组活动的用具是一条相对长一些的绳子，三个图钉，量角器，尺子。
通过测量，学生都会明白在三角形中存在这大边对大角，大角对大边的关系，但是这个只是一个直观的感知阶段。
接下来引导学生探究边和角之间有没有存在比较确定的数量关系。
第二阶段：抽象阶段
思考1：讨论边和角没有确定的数量关系
让学生分析自己组得到的数据，讨论边和角除了直观的边角关系，看看还有没有确定的数量关系。学生切入的角度可能有如下几种：
（1）边和角进行直接比值；
（2）边和角代入正比例函数，看看比例系数是否确定；
（3）边和角代入二次函数等学过的函数；
大部分学生想到的都是上面的几种方法，但是都不可以，学生就会存在想法，是不是边和角没有确定的数量关系，只有直观的边角关系。
思考2：如何研究角度
因为刚学完三角函数不久，很多对角度的处理还是有一些印象的，因此很多学生就会对角进行如下处理：
（1）化成弧度；
（2）化成正弦值；
（3）化成余弦值；
（4）化成正切值；
从而得到一个新的表，反映够快的学生看得出正弦值和长度存在正比例关系，因此，可以得出正弦定理的初步模型■=■=■。
第三阶段：概括阶段
这个阶段也就是正弦定理的证明阶段。很多学生直接化了一个三角形来思考，这个是不全面，而且也不容易找到突破口，因此，作出如下安排：
（1）先在直角三角形里面来证，因为这里面的三角函数直接可以用边来表示；
（2）接着在锐角三角形来证，有了前面的直角三角形做基础，学生还是很容易找到作高这个切入口了；
（3）钝角三角形的证明就和锐角的差不多；
因此，这个阶段的核心是让学生明白证明问题的全面和严谨。
思考问题：正弦定理的比值有没有具体的含义，这个让学生课后思考。
第四阶段：巩固阶段
题组一：解三角形
1．已知三角形任意两角和一边，求其他元素：
（1）在△ABC中，已知a=■，A=300，B=450，则（ ）
A．1 B．■ C．■ D．2
（2）在△ABC中，已知BC=■，B=300，C=1050，则（ ）
A．1 B．■ C．■ D．2
2．已知三角形任意两边和其中一边的对角，求其他元素：
（1）在△ABC中，已知a=1，b=■ ,A=■,解这个三角形．
（2）在△ABC中，已知a=1，b=2 ,A=■,解这个三角形．
题组二：定理变式的应用
1．在△ABC中，a=■b，A=2B，则B为（ ）
A．■ B．■
C．■或■ D．■或■
2．在△ABC中，若sinA＞sinB，则（ ）
A．A＞B B．A＜b
C．A≥B D．A,B大小不能确定
三、课堂总结：
通过这四个步骤，让学生对正弦定理的形成有直观的感受，深刻的领会正弦定理是比值，而不是边和角直接对等，体现了新课程改革的要求，做到让学生积极主动研究问题，感受数学的来源，提高对数学的兴趣。
参考文献：
[1] 普通高中数学课程标准（实验）[M].人民教育出版社.2010. 2-3
[2] 数学教学论[M].高等教育出版社. 2008.
关键字：正弦定理；APOS
问题提出：
数学命题课型是学生接触最多的课型，命题课型包含数学公理、数学定理、数学性质、数学法则、数学公式等内容，考试涉及的内容比较多。解三角是每年高考必考的内容。很多学生反映解三角如果仅仅是考察正弦定理或者余弦定理，这个是比较简单的，但是如果把解三角作为一个背景复合其它内容，比如方程，函数思想，这样就会比较难。其实在我们的教学中，解三角的边角互化已经形成一种固定的思维模式，很多学生也是套用这个模式，但是这样明显违背了新课程改革初衷。
在我们的数学教学中，讲—练—评是用得最多的一种教学模式。根据高中数学新课程标准的要求，我们要构建共同基础，提供发展平台，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，强调本质，注意适度形式化，这几个方面在高考中有很明显的体现。因此，在新高考改革的背景下，这种模式是需要进行改进的。
解决问题：
一、APOS理论说明[2]
APOS理论认为，学习者在数学学习过程中，数学知识的习得需要进行心理建构，此过程包括四个阶段：
（1）Action（活动）阶段；（2）Process（过程）阶段
（3）Object（对象）阶段；（4）Scheme（图式）阶段
二、课堂设计：
（1）常规的正弦定理课堂设计：
一、三角形知识回顾
1．三角形分类 ； 2．三角形元素
3．三角形元素间的关系； 4．直角三角形的性质
二、正弦定理的推导
1．正弦定理 ； 2．正弦定理的变式
三、正弦定理的应用
这三个模块都是通过讲评练的形式来开展，因此很多学生只是记住了正弦定理这条公式，对于正弦定理的核心，也就是比值没有深刻的体会，导致后面很多题目做得比较被动。
（2）根据APOS设计的课堂：
第一阶段：感知阶段
课前知识讲解：在△ABC中，∠A记为A，∠B记为B，∠C记为C，边BC记为a，边AC记为b，边AB记为c。
探索三角形边角之间的关系，按4到5个人对学生进行分组，每组里面分为测量角度的人，测量长度的人，记录数据的人。每一组活动的用具是一条相对长一些的绳子，三个图钉，量角器，尺子。
通过测量，学生都会明白在三角形中存在这大边对大角，大角对大边的关系，但是这个只是一个直观的感知阶段。
接下来引导学生探究边和角之间有没有存在比较确定的数量关系。
第二阶段：抽象阶段
思考1：讨论边和角没有确定的数量关系
让学生分析自己组得到的数据，讨论边和角除了直观的边角关系，看看还有没有确定的数量关系。学生切入的角度可能有如下几种：
（1）边和角进行直接比值；
（2）边和角代入正比例函数，看看比例系数是否确定；
（3）边和角代入二次函数等学过的函数；
大部分学生想到的都是上面的几种方法，但是都不可以，学生就会存在想法，是不是边和角没有确定的数量关系，只有直观的边角关系。
思考2：如何研究角度
因为刚学完三角函数不久，很多对角度的处理还是有一些印象的，因此很多学生就会对角进行如下处理：
（1）化成弧度；
（2）化成正弦值；
（3）化成余弦值；
（4）化成正切值；
从而得到一个新的表，反映够快的学生看得出正弦值和长度存在正比例关系，因此，可以得出正弦定理的初步模型■=■=■。
第三阶段：概括阶段
这个阶段也就是正弦定理的证明阶段。很多学生直接化了一个三角形来思考，这个是不全面，而且也不容易找到突破口，因此，作出如下安排：
（1）先在直角三角形里面来证，因为这里面的三角函数直接可以用边来表示；
（2）接着在锐角三角形来证，有了前面的直角三角形做基础，学生还是很容易找到作高这个切入口了；
（3）钝角三角形的证明就和锐角的差不多；
因此，这个阶段的核心是让学生明白证明问题的全面和严谨。
思考问题：正弦定理的比值有没有具体的含义，这个让学生课后思考。
第四阶段：巩固阶段
题组一：解三角形
1．已知三角形任意两角和一边，求其他元素：
（1）在△ABC中，已知a=■，A=300，B=450，则（ ）
A．1 B．■ C．■ D．2
（2）在△ABC中，已知BC=■，B=300，C=1050，则（ ）
A．1 B．■ C．■ D．2
2．已知三角形任意两边和其中一边的对角，求其他元素：
（1）在△ABC中，已知a=1，b=■ ,A=■,解这个三角形．
（2）在△ABC中，已知a=1，b=2 ,A=■,解这个三角形．
题组二：定理变式的应用
1．在△ABC中，a=■b，A=2B，则B为（ ）
A．■ B．■
C．■或■ D．■或■
2．在△ABC中，若sinA＞sinB，则（ ）
A．A＞B B．A＜b
C．A≥B D．A,B大小不能确定
三、课堂总结：
通过这四个步骤，让学生对正弦定理的形成有直观的感受，深刻的领会正弦定理是比值，而不是边和角直接对等，体现了新课程改革的要求，做到让学生积极主动研究问题，感受数学的来源，提高对数学的兴趣。
参考文献：
[1] 普通高中数学课程标准（实验）[M].人民教育出版社.2010. 2-3
[2] 数学教学论[M].高等教育出版社. 2008.
- 【发布时间】2021/10/10 10:46:07
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