2024年10期
矢量的合成与分解
【关键词】 ；
【正文】 在高中物理的学习过程中，合成与分解的思想很常见。它能够很好的展现学生的模型建构能力，科学推理和论证的能力，这是学生必须具备的科学思维，掌握它能够体现学生的物理核心素养。因此这个内容一直是高考的热点素材，通常以力的合成与分解、运动的合成与分解、或是在场的合成与分解的背景下进行考查。在二轮复习中，我们可以利用近两年课标全国卷高考试题为例，成立一个专题进行突破。
一、力的合成与分解
例1（2018年课标I卷第16题）如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab=5 cm，bc=3 cm，ca=4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则（ ）
A．a、b的电荷同号，k=■
B．a、b的电荷异号，k=■
C．a、b的电荷同号，k=■
D．a、b的电荷异号，k=■
分析 依题意可建立两个电场力相互作用的模型。若c球受到a球的吸引力，则b球一定施加排斥力，才能使小球c所受库仑力的合力的方向水平，故a、b的电荷异号。
（1） 利用合成思想 如图1，由几何关系可知，Fa：Fb=4：3，再由库仑定律就可得正确答案
（2） 利用分解思想 如图2，建立水平竖直坐标系，在竖直方向有Facos530=Fbcos370， 再由库仑定律也可得正确答案。本题答案为D。
二、磁场的合成
例2（2018年课标II卷第20题）如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2，L1中的电流方向向左，L2中的电流方向向上；L1的正上方有a、b两点，它们相对于L2对称。整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向外。已知a、b两点的磁感应强度大小分别为■B0和■B0，方向也垂直于纸面向外。则（ ）
A. 流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为■B0
B. 流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为■B0
C. 流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为■B0
D. 流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为■B0
分析 依题意可建立三个磁场相互作用的模型。以垂直于纸面向外为正方向，由右手螺旋定则确定电流产生的磁场方向，并设L1，L2在a，b两点产生的磁感应强度分别为B1，B2。
由矢量的合成易得，B0-B1-B2=■B0
B0-B1+B2=■B0
故该题AC正确。
三、电场的分解
例3（2017年课标III卷第21题） 一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
分析 本题由于定势思维的缘故，很容易陷入寻找等势面的被动局面。如果引入场的分解思想，问题可迎刃而解。如图3。依题意可把这个未知电场分解成ca和cb两个方向的分电场，它们的场强分别为Eca=2V/cm，Ecb=1.5V/cm。故题目中未知电场的大小和方向都可求，其它选项由电场知识也易得。本题答案ABD。
四、当合则合，当分则分
例4（2018年课标I卷第18题）如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R：bc是半径为R的四分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球。始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为（ ）
A．2mgR
B．4mgR
C．5mgR
D．6mgR
分析 小球在轨道abc上运动时，可利用合成的思想，把水平恒力与重力合成为一个等效场，其场线方向与bc连线垂直，如图4。由对称性易知，vb=vc。离开c点后，小球作斜抛运动到最高点，此时利用分解的思想，如图5，小球在竖直方向的分运动为匀减速直线运动，当速度减为0时，即为轨迹最高点。再由逆向思维可知，小球在竖直方向的分运动所用时间和位移的大小与ab段相同，故可知水平方向的分运动在这段时间内的位移为2R，最后由功能关系可得，正确答案为C。
学生在高一就开始学习力的合成与分解，运动的合成与分解，这个思想虽然不陌生，但是高考中要求学生能够把合成与分解的思想迁移到电场和磁场中，并且能够利用它解决具体的问题，难度较大。总之，是利用合成的思想还是利用分解的思想来解决问题，其实是由实际情况来决定的，哪种思想可以简化问题就用哪种思想，千万不要思维定势了。
一、力的合成与分解
例1（2018年课标I卷第16题）如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab=5 cm，bc=3 cm，ca=4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则（ ）
A．a、b的电荷同号，k=■
B．a、b的电荷异号，k=■
C．a、b的电荷同号，k=■
D．a、b的电荷异号，k=■
分析 依题意可建立两个电场力相互作用的模型。若c球受到a球的吸引力，则b球一定施加排斥力，才能使小球c所受库仑力的合力的方向水平，故a、b的电荷异号。
（1） 利用合成思想 如图1，由几何关系可知，Fa：Fb=4：3，再由库仑定律就可得正确答案
（2） 利用分解思想 如图2，建立水平竖直坐标系，在竖直方向有Facos530=Fbcos370， 再由库仑定律也可得正确答案。本题答案为D。
二、磁场的合成
例2（2018年课标II卷第20题）如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2，L1中的电流方向向左，L2中的电流方向向上；L1的正上方有a、b两点，它们相对于L2对称。整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向外。已知a、b两点的磁感应强度大小分别为■B0和■B0，方向也垂直于纸面向外。则（ ）
A. 流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为■B0
B. 流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为■B0
C. 流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为■B0
D. 流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为■B0
分析 依题意可建立三个磁场相互作用的模型。以垂直于纸面向外为正方向，由右手螺旋定则确定电流产生的磁场方向，并设L1，L2在a，b两点产生的磁感应强度分别为B1，B2。
由矢量的合成易得，B0-B1-B2=■B0
B0-B1+B2=■B0
故该题AC正确。
三、电场的分解
例3（2017年课标III卷第21题） 一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
分析 本题由于定势思维的缘故，很容易陷入寻找等势面的被动局面。如果引入场的分解思想，问题可迎刃而解。如图3。依题意可把这个未知电场分解成ca和cb两个方向的分电场，它们的场强分别为Eca=2V/cm，Ecb=1.5V/cm。故题目中未知电场的大小和方向都可求，其它选项由电场知识也易得。本题答案ABD。
四、当合则合，当分则分
例4（2018年课标I卷第18题）如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R：bc是半径为R的四分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球。始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为（ ）
A．2mgR
B．4mgR
C．5mgR
D．6mgR
分析 小球在轨道abc上运动时，可利用合成的思想，把水平恒力与重力合成为一个等效场，其场线方向与bc连线垂直，如图4。由对称性易知，vb=vc。离开c点后，小球作斜抛运动到最高点，此时利用分解的思想，如图5，小球在竖直方向的分运动为匀减速直线运动，当速度减为0时，即为轨迹最高点。再由逆向思维可知，小球在竖直方向的分运动所用时间和位移的大小与ab段相同，故可知水平方向的分运动在这段时间内的位移为2R，最后由功能关系可得，正确答案为C。
学生在高一就开始学习力的合成与分解，运动的合成与分解，这个思想虽然不陌生，但是高考中要求学生能够把合成与分解的思想迁移到电场和磁场中，并且能够利用它解决具体的问题，难度较大。总之，是利用合成的思想还是利用分解的思想来解决问题，其实是由实际情况来决定的，哪种思想可以简化问题就用哪种思想，千万不要思维定势了。
- 【发布时间】2021/10/10 10:59:31
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