——以《鸡兔同笼》为例

  摘 要：本文以人教版四年级下册第九单元《数学广角——鸡兔同笼》为例，浅谈小学数学课堂中数学文化的渗透。让学生通过生动有趣的古代数学问题感受我国古代数学文化，了解解决问题的不同方法和策略，“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。由于还没学方程解法，此课主要引导学生通过猜测、列表、假设等方法来解决问题，培养学生猜测、有序思考及逻辑推理的能力。通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。
　　关键词：数学文化；鸡兔同笼；课堂渗透；数学思想
　　《数学课程标准》指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”小学数学课堂中，教师应该把我国古代数学传统文化渗透在课堂中，让学生感受数学文化史的魅力同时体现数学的文化价值。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人。
　　一、目标设定
　　（一）教学目标
　　1.了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，会运用列表法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。
　　2.通过自主探索、合作交流，培养学生的合作意识和逻辑推理能力，体会解题策略的多样化，渗透化繁为简的思想。
　　3.感受古代数学问题的趣味性，提高学习数学的兴趣。
　　（2）教学重点、难点
　　重点：自主探究解决问题的过程，会运用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题。
　　难点：运用不同的方法解决实际问题
　　二、教学过程
　　（一）历史激趣，揭示课题
　　大约1500年前的我国古代数学名著《孙子算经》，里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道趣题。题目：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
　　通过数学名著《孙子算经》的介绍和“鸡兔同笼”问题的导入，激发学生学习的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考。亮明例题出处是古代数学名著中的经典趣题，激发学生兴趣。通过古文的形式展示例题，让学生感受古文简约之美。教师与学生共同翻译古文，理解题目意思，增强学生的荣誉感。
　　（二）合作探究，学习新知
　　1.感受化繁为简的必要性，渗透转化的数学思想
　　很多同学不知道怎么解答，也猜不出来。数太大了，小一些就可以试出来或者猜出来。数字大了就很难猜出来，那我们把数字改小些试试看。引出课本例一题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？这样就可以用以前学过的画图法、枚举法、列表法……来解决问题。
　　让学生体会到从简单问题入手的必要性，初步感受化繁为简是探究解决问题策略的有效途径之一。 通过引导学生将复杂问题简单化，同样是鸡兔同笼问题，但是数据变小了，学生更容易得出分析和得出题目中隐含的数量关系，也巧妙地渗透了转化的数学思想。
　　2.探究列表法，训练有序思考
　　可能的情况有很多种，怎样才能知道哪一种符合题意呢？鸡和兔一共有8只，有很多种情况，我们可以用表格一一列举出来。





　　像这样利用表格按顺序列出所有的情况，进而找到问题答案的方法叫做列表法。这是在我们解决问题的过程中非常好的一种方法。通过引导学生经历猜想、有根据地猜想，再到根据需要列表验证的过程，让学生学会有序思考，为学生学习运用假设法解决问题奠定了基础。
　　3. 探究假设法，培养推理能力
　　刚才用列表法解决了这个问题，但数据变大后，列举出的情况太多了，你还有其他的解题方法吗？如果从最特殊的情况出发，假设笼子里全是鸡，那么一共有多少只脚？
　　方法一：假设笼子里全是鸡，相当于列表中的“8只鸡，0只兔”。每只鸡2只脚，一共有脚8×2=16（只），还多脚26-16=10（只）。一只兔比一只鸡多脚4-2=2（只），也就有兔10÷2=5（只），鸡8-5=3（只）。
　　方法二：假设笼子里全是兔，相当于列表中的“0只鸡，8只兔”每只兔4只脚，一共有脚8×4=32（只），多出脚32-26=6（只）。一只鸡比一只兔少脚4-2=2（只），也就有鸡6÷2=3（只），兔8-3=5（只）。
　　通过假设笼子里都是鸡或者都是兔的情况，发现规律，得出答案，这种解决问题的方法叫做假设法。这也是解答“鸡兔同笼”问题的一种基本方法。让学生充分经历了观察、比较、推理、归纳、概括等数学活动与数学思考，探究出用假设法解决“鸡兔同笼”问题。充分的探究活动，既培养了学生的推理能力，又有效促进了学生逻辑思维能力的发展。
　　（三）拓展思路，提高认识
　　1.介绍《孙子算经》中的算法。
　　假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数去掉了一半，还有 94÷2＝47只脚。这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。这时脚的总数与头的总数之差 47－35＝12，就是兔子的只数。古人的算法可以用下图表示：




　　通过对《孙子算经》中的算法介绍，古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考，让学生感受到中国古代数学文化博大精深，感受古人的睿智，我们作为中国人的自豪。从而引出“抬脚法”，引导学生模仿此方法解题。
　　2.抬脚法
　　方法一：假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有26÷2=13（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差13-8=5，就是兔子的只数，就有8－5=3只鸡。
　　方法二：假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下26－8×2=10只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有10÷2=5只兔子，就有8－5=3只鸡。
　　3.鸡翅法
　　把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有4只脚。共有8×4＝32只脚。那么就多出来32－26＝6只脚，多出来的是鸡的脚。所以有6÷2＝3只鸡，有8－3＝5只兔。
　　4.双倍兔头法
　　让兔子有两个头，那么一个头就对应两只脚，共有26÷2＝13个头。那么就多出来13－8＝5个头，也就是兔子的数量，所以有8－5＝3只鸡。
　　通过《孙子算经》中算法的提示，我们可以想到抬脚法、鸡翅法、双倍兔头法等衍生方法，《孙子算经》中的解法做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。这时，我们利用前面讲过的假设法去做。
　　（四）知识运用，巩固提高
　　1.解决“鸡兔同笼”数学趣题
　　我们已经用不同的方法解决了简单的“鸡兔同笼”问题。现在能解决《孙子算经》中的原题了吗？你会选择哪一种方法来解题呢？为什么？
　　2.感悟模型，解决实际问题。
　　“鸡兔同笼”的问题并不仅仅局限在解决与动物有关的问题上，它在我们的日常生活中也有着广泛的应用。教科书第106页第2题：全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了。大船坐6人，小船坐4人，大、小船各租了几条？
　　学生通过自主探究、比较后很容易得出假设法是解决“鸡兔同笼”问题的一般方法。围绕本课的教学重难点，解决实际问题，让学生感悟“鸡兔同笼”问题不仅仅是鸡兔问题，生活中的实际问题只要符合这种数量关系，就可以用类似的方法解答。有层次、有针对性地练习，能加深学生对本课所学知识的理解，培养学生思维的灵活性。
　　（五）课堂小结，情感升华
　　让学生来说说今天的收获。这是一道比较复杂的难题，却被四年级的同学解决了，真是不简单。让学生自己总结所学知识，不仅能进一步内化本课所学的内容，而且学生经历了自我总结、评价的过程，更能让学生在知、情、意、行等方面同时得到发展。
　　三、总结反思
　　数学文化是指人类在数学行为活动的过程中所创造的物质产品和精神产品。物质产品指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分；精神产品指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分。“鸡兔同笼”出自《孙子算经》， 该题虽不具有实际意义， 却可以成为一类问题的数学模型。同时， 题目情节有趣但不简单， 解答有挑战但不艰涩， 成为历史名题实至名归， 实在是体会数学文化的极好载体。纵观整个教学过程，预期目标渗透在各个环节。本课的特点是：在情境中导入，在探究中求知，在碰撞中生成，在合作中交流，在练习中提升。始终定位为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。
　　参考文献：
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　　本文是广州市黄埔区“十三五规划2020年度立项课题《智能教育软件在小学中低年段数学作业中的应用研究》（编号：2020044）”

• 【发布时间】2021/10/10 11:14:50
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