2024年09期
一道中考几何题引发的教学思考
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：全等三角形和相似三角形是初中几何研究的主要内容，学生在解决关于三角形的一些难度较大的问题时，经常需要添加辅助线构造全等三角形或构造相似三角形，这对于很多同学来说是一个难点。本文以一道中考几何题为例，先从“一边一角”条件入手，反观全等三角形的构造方法，类比此法，再谈如何构造相似三角形。
关键字：一边一角；全等；相似
1.以大连市2021年中考试卷的题25为例
如图 1，在△ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，BD=BA，点 F 在 BE 上，FA=FE，∠AFE=∠ABD.
（1）在图 1 中找出与∠EBC 相等的角，并证明；
（2）求证∠BEA=∠BED；
（3）如图 2，连接 FD，点 M 在 EF 上，∠EDM+∠EDF=180°，AE=kDE，求■的值（用含k的式子表示）.
1.1试题评价
这是一道几何压轴题，难度较大，主要考察学生的推理和分析解决问题的能力。这道题以三角形为背景，考察外角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等初中几何知识。解决这道题的关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形。
本题中问题（1）考查了三角形的外角定理，因为∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AFE=∠ABD，∠ABD=∠ABF+∠EBC，所以∠BAF=∠EBC；问题（2）是考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。解决这一问题的关键是如何添加辅助线构造全等三角形。全等三角形的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，由于SSS的条件太强，因此一般用到这种方法解决难题较少，而纵观后三种方法可以发现，每种方法中都有“一边一角”的条件，因此可以通过“一边一角”条件入手构造全等三角形。
1.2利用“一边一角”构造全等三角形
首先，先找到“一边一角”的条件。因为BD=BA，由（1）得∠BAF=∠EBC，将这组边等和角等的条件组合起来，这样就找到了“一边一角”，这里通过导角找到一组等角很关键，这为构造全等作了铺垫。
其次，确定目标三角形构造全等。以上已经找到了“一边一角”，即BD=BA，∠BAF=∠EBC，，然后将邻近的边角组合，即BD和∠EBC，BA和∠BAF，分别找到每个组合所在的三角形，从图上可以看出BD和∠EBC所在的三角形是△BDE；BA和∠BAF所在的三角形是△ABF.然后选择其中一组边角所在的三角形为目标三角形，以另一组边角为条件构造与目标三角形全等的三角形即可解决问题。对于此题利用“一边一角”有如下构造全等的方法.
解法1：；以△ABF为目标三角形，以BD和∠EBC为“一边一角”条件构造△BDP.
如图3，在BE上取点P，使BP=AF，所以△ABF△BDP，∠BFA=∠BPD，DP=BF，因为BP=AF，AF=FE，所以BF=PE，所以DP=PE，∠BED=∠PDE，所以∠BPD=2∠BED，又因为∠FAE=∠FEA，所以∠BFA=2∠BEA，所以∠BEA=∠BED。
解法2：以△BDE为目标三角形，以BA和∠BAF为“一边一角”条件构造△BAQ.
如图4，延长AF至点Q，使AQ=BE，连接BQ， 所以△ABQ△BDE，所以AQ=BE，因为AF=EF，所以FB=FQ，所以∠FBQ=∠FQB，因为∠FAE=∠FEA，由三角形的内角和可得∠BEA=∠FBQ，因为∠FQB=∠BED，所以∠BEA=∠BED。
1.3利用“一边一角”构造相似三角形
相似三角形的判定方法有SSS，SAS，AA，类比全等三角形的构造方法，可以通过“一边一角”的条件构造相似三角形，以（3）为例进行说明：
1.3.1如图5，要求■的值，可以通过证AF和ME所在的两个三角形相似，类比以上构造全等三角形的方法先找到“一边一角”的条件。因为AF=FE，所以∠EAF=∠AFE，又因为∠BED=∠AEF，所以∠EAF=∠BED，再与AF和ME这两条边组合，这样就找到“一边一角”的条件，再分别找到它们所在的三角形. AF和∠EAF在△AEF中，ME和∠BED在△MED中.
1.3.2以△MED为目标三角形，以AF+∠EAF为“一边一角”构造△AEQ，作∠AFQ=∠EMD，FQ交AE于点Q，先证△AFQ∽△EMD， 再证△EFQ△EFD，设DE=x，则AE=kx，QE=x，所以AQ=（k-1）x，■=■=k-1；
2.思考与教学建议
2.1教学思考
这道题第二问和第三问的解题思路类似，都是围绕如何添加辅助线构造全等三角形和构造相似三角形来解决问题，而这两问的辅助线引出方法都是基于对学生几何直观和推理能力的考察。无论是构造全等三角形还是相似三角形，首先，需要经过推理找到“一边一角”的条件，接下来就是构造哪两个三角形全等和相似的问题了，根据“一边一角”的条件，不难找到目标三角形，然后通过几何直观，可以把目标三角形整体搬移到要构造的三角形的位置，这样就找到了需要添加的辅助线。
2.2教学建议：注重几何直观和推理能力的培养
2.2.1教学中注重对学生几何直观的培养
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
首先，养成画图的习惯是提高几何直观能力的基础
在日常教学中，要重视培养学生的画图习惯，能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考图形化，尽量把问题、计算、证明等数学过程变得直观，直观了就容易展开思维，让学生体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的益处，形成画图的意识，养成画图的习惯。以上题目在解决过程中就是将图形整体搬移，借助画图和几何直观找到辅助线的画法。
其次， 掌握、运用一些基本图形是提高几何直观的关键.
把让学生掌握一些基本图形作为教学任务，在教学中有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，同时，重视对基本图形的归纳。一个基本图形往往具有一定的代表性，它能化繁为简，缩短思考的路径，在复杂问题中容易抓住思考的方向。
2.2.2教学中注重对学生推理能力的培养
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理能力的形成不同于知识和技能的掌握，需要一个长期、缓慢的过程，教学活动必须提供学生探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，把发展学生的思维能力融合在过程之中。图形与几何为发展学生的推理能力提供了丰富的素材，教学过程中应在推导角的关系时就给学生打下良好的基础，进而再通过全等三角形，相似三角形整体图形的关系提高推理能力。
参考文献：
[1]数学课程标准（2011版）解读[M].北京师范大学出版集团，2012.
[2]陈立岩.基于问题条件聚焦几何画图[J].中小学数学初中版，2021（03）.
关键字：一边一角；全等；相似
1.以大连市2021年中考试卷的题25为例
如图 1，在△ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，BD=BA，点 F 在 BE 上，FA=FE，∠AFE=∠ABD.
（1）在图 1 中找出与∠EBC 相等的角，并证明；
（2）求证∠BEA=∠BED；
（3）如图 2，连接 FD，点 M 在 EF 上，∠EDM+∠EDF=180°，AE=kDE，求■的值（用含k的式子表示）.
1.1试题评价
这是一道几何压轴题，难度较大，主要考察学生的推理和分析解决问题的能力。这道题以三角形为背景，考察外角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等初中几何知识。解决这道题的关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形。
本题中问题（1）考查了三角形的外角定理，因为∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AFE=∠ABD，∠ABD=∠ABF+∠EBC，所以∠BAF=∠EBC；问题（2）是考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。解决这一问题的关键是如何添加辅助线构造全等三角形。全等三角形的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，由于SSS的条件太强，因此一般用到这种方法解决难题较少，而纵观后三种方法可以发现，每种方法中都有“一边一角”的条件，因此可以通过“一边一角”条件入手构造全等三角形。
1.2利用“一边一角”构造全等三角形
首先，先找到“一边一角”的条件。因为BD=BA，由（1）得∠BAF=∠EBC，将这组边等和角等的条件组合起来，这样就找到了“一边一角”，这里通过导角找到一组等角很关键，这为构造全等作了铺垫。
其次，确定目标三角形构造全等。以上已经找到了“一边一角”，即BD=BA，∠BAF=∠EBC，，然后将邻近的边角组合，即BD和∠EBC，BA和∠BAF，分别找到每个组合所在的三角形，从图上可以看出BD和∠EBC所在的三角形是△BDE；BA和∠BAF所在的三角形是△ABF.然后选择其中一组边角所在的三角形为目标三角形，以另一组边角为条件构造与目标三角形全等的三角形即可解决问题。对于此题利用“一边一角”有如下构造全等的方法.
解法1：；以△ABF为目标三角形，以BD和∠EBC为“一边一角”条件构造△BDP.
如图3，在BE上取点P，使BP=AF，所以△ABF△BDP，∠BFA=∠BPD，DP=BF，因为BP=AF，AF=FE，所以BF=PE，所以DP=PE，∠BED=∠PDE，所以∠BPD=2∠BED，又因为∠FAE=∠FEA，所以∠BFA=2∠BEA，所以∠BEA=∠BED。
解法2：以△BDE为目标三角形，以BA和∠BAF为“一边一角”条件构造△BAQ.
如图4，延长AF至点Q，使AQ=BE，连接BQ， 所以△ABQ△BDE，所以AQ=BE，因为AF=EF，所以FB=FQ，所以∠FBQ=∠FQB，因为∠FAE=∠FEA，由三角形的内角和可得∠BEA=∠FBQ，因为∠FQB=∠BED，所以∠BEA=∠BED。
1.3利用“一边一角”构造相似三角形
相似三角形的判定方法有SSS，SAS，AA，类比全等三角形的构造方法，可以通过“一边一角”的条件构造相似三角形，以（3）为例进行说明：
1.3.1如图5，要求■的值，可以通过证AF和ME所在的两个三角形相似，类比以上构造全等三角形的方法先找到“一边一角”的条件。因为AF=FE，所以∠EAF=∠AFE，又因为∠BED=∠AEF，所以∠EAF=∠BED，再与AF和ME这两条边组合，这样就找到“一边一角”的条件，再分别找到它们所在的三角形. AF和∠EAF在△AEF中，ME和∠BED在△MED中.
1.3.2以△MED为目标三角形，以AF+∠EAF为“一边一角”构造△AEQ，作∠AFQ=∠EMD，FQ交AE于点Q，先证△AFQ∽△EMD， 再证△EFQ△EFD，设DE=x，则AE=kx，QE=x，所以AQ=（k-1）x，■=■=k-1；
2.思考与教学建议
2.1教学思考
这道题第二问和第三问的解题思路类似，都是围绕如何添加辅助线构造全等三角形和构造相似三角形来解决问题，而这两问的辅助线引出方法都是基于对学生几何直观和推理能力的考察。无论是构造全等三角形还是相似三角形，首先，需要经过推理找到“一边一角”的条件，接下来就是构造哪两个三角形全等和相似的问题了，根据“一边一角”的条件，不难找到目标三角形，然后通过几何直观，可以把目标三角形整体搬移到要构造的三角形的位置，这样就找到了需要添加的辅助线。
2.2教学建议：注重几何直观和推理能力的培养
2.2.1教学中注重对学生几何直观的培养
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
首先，养成画图的习惯是提高几何直观能力的基础
在日常教学中，要重视培养学生的画图习惯，能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考图形化，尽量把问题、计算、证明等数学过程变得直观，直观了就容易展开思维，让学生体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的益处，形成画图的意识，养成画图的习惯。以上题目在解决过程中就是将图形整体搬移，借助画图和几何直观找到辅助线的画法。
其次， 掌握、运用一些基本图形是提高几何直观的关键.
把让学生掌握一些基本图形作为教学任务，在教学中有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，同时，重视对基本图形的归纳。一个基本图形往往具有一定的代表性，它能化繁为简，缩短思考的路径，在复杂问题中容易抓住思考的方向。
2.2.2教学中注重对学生推理能力的培养
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理能力的形成不同于知识和技能的掌握，需要一个长期、缓慢的过程，教学活动必须提供学生探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，把发展学生的思维能力融合在过程之中。图形与几何为发展学生的推理能力提供了丰富的素材，教学过程中应在推导角的关系时就给学生打下良好的基础，进而再通过全等三角形，相似三角形整体图形的关系提高推理能力。
参考文献：
[1]数学课程标准（2011版）解读[M].北京师范大学出版集团，2012.
[2]陈立岩.基于问题条件聚焦几何画图[J].中小学数学初中版，2021（03）.
- 【发布时间】2021/12/3 22:15:34
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