2024年10期
浅谈空间几何体外接球半径计算方法
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：高中立体几何中，多面体外接球问题是考试的热点，对于大多数学生来说，也是一个难点.解决外接球问题，需要空间想象能力；化归转化能力；还要有较好的平面几何运算能力.本文针对高考中常见的外接球进行分类，针对不同类型的几何体，深入浅出，层层递进，从如何确定外接球球心到如何计算外接球半径，都给出了详细步骤，最终总结为结论，简化了运算难度，也易于掌握.
关键词：外接球半径；正弦定理；棱锥；球心；外接圆
在高考数学中，多面体的外接球问题一直是高频考点，对于很多同学来说也是很难掌握的知识点.对多面体外接球而言，确定球心以及半径，要牢牢抓住球心到各个顶点的距离相等这一条件，找到球心以及半径.在外接球问题中，主要有两大类多面体：一类是较为规则的柱体；另一类是椎体，以棱锥居多.对于柱体而言，其外接球半径很容易就可以计算出来.比如三棱柱；四棱柱等，其球心在该几何体的中心.本文主要研究椎体的外接球问题，针对棱锥的不同特点进行分类，分别给出每一类如何确定球心，如何计算半径，最后总结为公式.简化了计算过程，降低了对几何体结构想象的难度，易于学生掌握和运用.
一、侧棱垂直于底面
对于有一条侧棱垂直于地面的椎体，简称为侧棱垂直于底面.为了在空间中找到球心，大致可以分这么几个步骤：
（1）先找底面图形的外接圆圆心.一般来说题目中的底面多数都为三角形，不是所有的四边形都有外接圆，有外接圆的四边形又比较特殊，以至于比较容易就能找到其外接圆圆心.对于底面为三角形，其外接圆圆心为三条边的垂直平分线交点，如果题目只需要外接圆半径，则可以通过正弦定理来计算.
（2）过底面外接圆圆心作底面的垂线.根据图形的几何性质可以得到，该垂线上的任一点到底面各个顶点的距离都相等.
（3）在所作垂线上取一点O，利用点O到椎体顶点的距离等于点O到底面任意点的距离建立方程，通过方程即可确定外接球球心以及半径.
如图1所示，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，设该棱锥高为h，底面ABC外接圆半径为r，三棱锥P-ABC外接球半径为R.
图1
图2
根据找球心步骤，如图2.第一步：设O1底面的外接圆圆心；第二步：过O1作O1M⊥面ABC；第三步：在O1M上取一点O，过O作OQ∥BO1交BP于点Q，连接PO，CO，BO1，CO1.若OP=OC，则O为三棱锥P-ABC的外接球球心.
设OO1=x，根据图形的几何关系有：|OC|2=x2+r2，|OP|2=（h-x）2+r2，通过等式关系|OC|2=|OP|2得出x=■，于是得出R2=.■h2+r2.所以对于有侧棱垂直底面的棱锥的外接球半径公式总结如下：
R=■ （公式1）
二、正棱锥
如下图3，在正三棱锥P-ABC中，设该棱锥高为h，底面ABC外接圆半径为r，三棱锥P-ABC外接球半径为R.
图3
图4
如图4，设点O1为底面ABC的外接圆圆心，连接PO1，O1C，由于P-ABC是正三棱锥，所以有PO1⊥面ABC，在PO1上取一点O，连接OC.若OP=OC，则O为三棱锥P-ABC的外接球球心.
设OO1=x，根据OP=OC有r2+x2=（h-x）2，解得x=■，所以R=h-x=■.因此得到正棱锥的外接球公式如下：
R=■ （公式2）
三、万棱锥
除了侧棱垂直于底面的棱锥以及正棱锥以外，还有侧面垂直于底面或者其他一般棱锥，接下来都归为一类，普通棱锥.对于普通棱锥而言，本文给出一个万能公式，运用这个公式不再需要有较为复杂的空间想象能力，只需要计算出公式中的三个变量代入公式便能求得其外接球半径.
如图5，在三棱锥P-ABC，设该棱锥高为h，底面ABC外接圆半径为r，顶点在底面投影点和底面外接圆圆心之间的距离记为m，三棱锥P-ABC外接球半径为R.
图5
图6
如图6，过顶点P作PO1⊥面ABC，垂足为点O1，设O2为底面外接圆圆心，过O2作O2M∥PO1，连接O1O2，O2C，OC，OP，在O2M上取一点O，过O作OQ∥O1O2交于点Q.若OP=OC，则O为三棱锥P-ABC的外接球球心.
设OO2=x，于是在直角△PQO中，|PO|2=（h-x）2+m2，|CO|2=x2+r2，当|OP|=|OC|时，解得x=■，于是R=■.因此对于一般的棱锥外接球公式可以如下表示：
R=■x=■ （公式3）
四、结束语
本文通过上面三种情况的分析，对一般情况下棱锥的外接球球心如何确定做了详细介绍，大致可以总结如下：首先确定棱锥的底面外接圆圆心.圆心位置可以通过底面三角形三边的垂直平分线的交点确定，其半径大小可以通过正弦定理来解决；其次过底面外接圆圆心作底面垂线，于是球心必定在该直线上；最后通过任取一点，利用该点到顶点距离等于该点到底面任一点的距离，求得该棱锥的外接球半径.如果题目只是为了解决外接球半径，没有球心位置的需求，则可以通过上面总结的三个公式直接计算，这样可以降低了计算难度，同时也能节省计算时间.
参考文献：
[1]邹世龙.分类例谈多面体的外接球半径的破解策略[J].中学数学，2022，（03），41-42.
[2]胡祥志.例谈外接球半径的处理策略[J].数学之友，2021，（06），75-77.
[3]林朝晖.对“锥体之外接球问题”专题复习课的教学思考[J].数学学习与研究，2021，（30），88-89.
[4]田鹏.棱锥体积最大时其外接球的体积也最大吗？[J].数学通讯，2021，（17），21-24.
基金项目：重庆市普通高中教育教学改革研究课题，课题编号：2019CQJWGZ3075.
作者简介：赵礼阳（1990-），重庆大足人，研究生，一级教师，研究方向：高中数学教学.
关键词：外接球半径；正弦定理；棱锥；球心；外接圆
在高考数学中，多面体的外接球问题一直是高频考点，对于很多同学来说也是很难掌握的知识点.对多面体外接球而言，确定球心以及半径，要牢牢抓住球心到各个顶点的距离相等这一条件，找到球心以及半径.在外接球问题中，主要有两大类多面体：一类是较为规则的柱体；另一类是椎体，以棱锥居多.对于柱体而言，其外接球半径很容易就可以计算出来.比如三棱柱；四棱柱等，其球心在该几何体的中心.本文主要研究椎体的外接球问题，针对棱锥的不同特点进行分类，分别给出每一类如何确定球心，如何计算半径，最后总结为公式.简化了计算过程，降低了对几何体结构想象的难度，易于学生掌握和运用.
一、侧棱垂直于底面
对于有一条侧棱垂直于地面的椎体，简称为侧棱垂直于底面.为了在空间中找到球心，大致可以分这么几个步骤：
（1）先找底面图形的外接圆圆心.一般来说题目中的底面多数都为三角形，不是所有的四边形都有外接圆，有外接圆的四边形又比较特殊，以至于比较容易就能找到其外接圆圆心.对于底面为三角形，其外接圆圆心为三条边的垂直平分线交点，如果题目只需要外接圆半径，则可以通过正弦定理来计算.
（2）过底面外接圆圆心作底面的垂线.根据图形的几何性质可以得到，该垂线上的任一点到底面各个顶点的距离都相等.
（3）在所作垂线上取一点O，利用点O到椎体顶点的距离等于点O到底面任意点的距离建立方程，通过方程即可确定外接球球心以及半径.
如图1所示，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，设该棱锥高为h，底面ABC外接圆半径为r，三棱锥P-ABC外接球半径为R.
图1
图2
根据找球心步骤，如图2.第一步：设O1底面的外接圆圆心；第二步：过O1作O1M⊥面ABC；第三步：在O1M上取一点O，过O作OQ∥BO1交BP于点Q，连接PO，CO，BO1，CO1.若OP=OC，则O为三棱锥P-ABC的外接球球心.
设OO1=x，根据图形的几何关系有：|OC|2=x2+r2，|OP|2=（h-x）2+r2，通过等式关系|OC|2=|OP|2得出x=■，于是得出R2=.■h2+r2.所以对于有侧棱垂直底面的棱锥的外接球半径公式总结如下：
R=■ （公式1）
二、正棱锥
如下图3，在正三棱锥P-ABC中，设该棱锥高为h，底面ABC外接圆半径为r，三棱锥P-ABC外接球半径为R.
图3
图4
如图4，设点O1为底面ABC的外接圆圆心，连接PO1，O1C，由于P-ABC是正三棱锥，所以有PO1⊥面ABC，在PO1上取一点O，连接OC.若OP=OC，则O为三棱锥P-ABC的外接球球心.
设OO1=x，根据OP=OC有r2+x2=（h-x）2，解得x=■，所以R=h-x=■.因此得到正棱锥的外接球公式如下：
R=■ （公式2）
三、万棱锥
除了侧棱垂直于底面的棱锥以及正棱锥以外，还有侧面垂直于底面或者其他一般棱锥，接下来都归为一类，普通棱锥.对于普通棱锥而言，本文给出一个万能公式，运用这个公式不再需要有较为复杂的空间想象能力，只需要计算出公式中的三个变量代入公式便能求得其外接球半径.
如图5，在三棱锥P-ABC，设该棱锥高为h，底面ABC外接圆半径为r，顶点在底面投影点和底面外接圆圆心之间的距离记为m，三棱锥P-ABC外接球半径为R.
图5
图6
如图6，过顶点P作PO1⊥面ABC，垂足为点O1，设O2为底面外接圆圆心，过O2作O2M∥PO1，连接O1O2，O2C，OC，OP，在O2M上取一点O，过O作OQ∥O1O2交于点Q.若OP=OC，则O为三棱锥P-ABC的外接球球心.
设OO2=x，于是在直角△PQO中，|PO|2=（h-x）2+m2，|CO|2=x2+r2，当|OP|=|OC|时，解得x=■，于是R=■.因此对于一般的棱锥外接球公式可以如下表示：
R=■x=■ （公式3）
四、结束语
本文通过上面三种情况的分析，对一般情况下棱锥的外接球球心如何确定做了详细介绍，大致可以总结如下：首先确定棱锥的底面外接圆圆心.圆心位置可以通过底面三角形三边的垂直平分线的交点确定，其半径大小可以通过正弦定理来解决；其次过底面外接圆圆心作底面垂线，于是球心必定在该直线上；最后通过任取一点，利用该点到顶点距离等于该点到底面任一点的距离，求得该棱锥的外接球半径.如果题目只是为了解决外接球半径，没有球心位置的需求，则可以通过上面总结的三个公式直接计算，这样可以降低了计算难度，同时也能节省计算时间.
参考文献：
[1]邹世龙.分类例谈多面体的外接球半径的破解策略[J].中学数学，2022，（03），41-42.
[2]胡祥志.例谈外接球半径的处理策略[J].数学之友，2021，（06），75-77.
[3]林朝晖.对“锥体之外接球问题”专题复习课的教学思考[J].数学学习与研究，2021，（30），88-89.
[4]田鹏.棱锥体积最大时其外接球的体积也最大吗？[J].数学通讯，2021，（17），21-24.
基金项目：重庆市普通高中教育教学改革研究课题，课题编号：2019CQJWGZ3075.
作者简介：赵礼阳（1990-），重庆大足人，研究生，一级教师，研究方向：高中数学教学.
- 【发布时间】2022/5/19 18:19:43
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