2024年10期
揭露问题本质 引爆高阶思维
【关键词】 ；
【正文】 摘 要：解题教学是数学教学的重要组成部分.高阶思维指导下的解题教学，首先要设计出指向深度学习的问题情境，然后基于此构建问题链来组织教学资源，运用问题驱动，让学生自主的揭露问题本质，培养学生高阶思维.
关键词：几何建模；相似三角形；高阶思维
1. 题目呈现
如图，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明EF+EG=CH.
近期，笔者所在的地市举办了初中数学教学技能竞赛（说题）活动，其中一道说题题目如上.在讨论过程中，笔者发现部分教师对一题多解，一题多变，多题归一不理解或者理解有偏差，也不知道这种解题教学课该怎么上.后来笔者通过对问题深入分析，设计出如下教学过程.
2. 教学过程
2.1模型提出
问题1：观察图1，说一说图中有几个三角形，分别是那些？图2，图3呢？
设计意图：学生已经掌握了三角形相似的性质，但在做题中遇到更多的是两个三角形相似的问题.通过情境创设，让学生把目光聚焦在三个三角形相似的问题中，来打破学生的传统认知，激发学生的问题意识.
2.2模型探究
环节1 开山引路
问题2：如果图1中的三个三角形相似，除了对应角相等，对应边成比例外，你还能得出那些结论？
设计意图：从简单问题入手，为后面学生对复杂模型的自主探究做好铺垫.这是一道开放性问题，可以得到很多结论，有简单的，也有复杂的，这样的探究活动可以让不同层次的学生都参与进来.
问题3：这么多的结论，这些结论可以分类吗？如何分？
设计意图：学生得出的结论不是每个结论都值得深入研究的，这里引导学生对结论进行分类，可以发现更有价值的结论.从而引出这节课研究的重点结论：线段的和差① BD+EF=BA；② CF+ED=CA.
问题4：如何证明这些结论呢？
设计意图：从发现到证明，把学生的思维一步步引入深处.学生容易想到用几何法去证明，从角的关系到边的关系，完成证明，几何法关键是要有平行四边形.
问题6：还有其他证明方法吗，如果从边入手又如何去证明呢？
设计意图：刺激学生从多个视角探寻解题思路，使其在一题多解的过程中体会数学思想方法.如果从边入手，就会用到代数法，虽然对运算能力有一定要求，抽象性也增加了，但这种解法更具有一般性.
环节2 身临其中
问题7：如果图2中的三个三角形相似，结论① BF+EA=BC；② DF+ED=CA还成立吗？
设计意图：环节1带领学生完成了整个问题的探究路径，探究方法也进行了多元化，现在正是学生想要大展身手的时刻.图2跟图1具有相同特征，类比探索更能增加学生的自信心.
环节3 突破重围
问题8：如果图3中的三个三角形相似，结论① BD+CF=BA；② EF+ED=CA还成立吗？
设计意图：思维要从各个方面去打开，恰当的设置障碍，更有利于思维的生长.图3不再有平行四边形，明显难度增加了.几何法不能直接使用，代数法仍然可以解决，这里凸显出代数法的意义.思维敏锐的学生能够发现，可以通过截长补短法构造出图1，再用几何法来求解，这就是转化思想.
2.3模型归纳
问题9：我们已经解决了与三个模型有关的问题，这三个模型都有什么共同点？条件上的共同点，结论上的共同点.
条件：
结论： a=b+c
设计意图：通过模型归纳，让学生对问题进行总结归类，从而发现问题的本质，为后面更深入的探究做好铺垫，进一步培养学生的高阶思维能力.
2.4模型应用
应用1 简单应用
问题9：已知RtΔBFE∽RtΔCGE∽RtΔBHC 且 BE+CE=BC.求证： EF+EG=CH.
设计意图：一般问题特殊化，这里最容易想到的是代数法，因为与图形的位置无关.这时追问学生在特殊的直角三角形中还可以用什么方法来解决？让学生探索出三角函数法.再追问学生，是否可以用几何法来证明？如何证明？这个证明难度大得多，需要学生用截长补短法构造出三个三角形相似的几何模型.从开始求解模型，再转变到学生自己构造模型，达到培养学生逆向思维和空间思维的目的.
应用2 复杂应用
问题10：如图，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明EF+EG=CH.
问题11：对方法进行一个总结？
设计意图：简单问题复杂化，培养学生从复杂问题中，剥离出问题核心的能力，以及在特殊图形中随机应变的能力.几何法有截长法、补短法、面积法等，代数法有三角函数法、相似比法等.比如此题中几何法用面积法来证明更简单.
2.5模型迁移
变式1：点E在BC的延长线上，如图，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系？
变式2：如图，在等腰梯形ABCD中，点E是边BC上一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系？
变式3：观察图1，图2，图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有这样的线段的关系，写出相关题设的条件和结论？
设计意图：通过问题变式教学，培养学生演绎模型的能力，变式1点动，线段关系仍然成立，变式2形变，线段关系仍然成立，变式3让学生自主命题，发散学生的思维，达到真正培养学生高阶思维的目的.
2.6模型总结
几何模型有很多，我把它分成母模型和子模型.先由子模型归纳出母模型，培养学生总结归纳能力.再由母模型，探索出更多的复杂的子模型，培养学生模型演绎能力，让学生真正体会到万变不离其宗.
3.结束语
解题教学中，党规教学思路就是从问题直接入手，进行多角度分析，探索一题多解.由于相似三角形问题比较复杂，掌握一种解法都很困难，学生更不能理解一题多解的意义，解法显得很碎片化，因此多解归一很重要.解题教学的最终目标就是要通过会解一道题，实现会解一类题.但在几何建模教学中存在很多误区，比如老师直接总结出很多相似三角形模型，然后告知学生这些模型，这种模型泛化加重了学生的学习负担，同时容易固化学生的思维，导致学生的思维始终处于低阶思维状态.为了改变现状，笔者转变思路，通过模型的生长规律设置恰当的问题情境提出模型，让学生经历模型提出，模型探究，模型归纳，模型演绎，模型总结等这些重要的教学环节，即教会了学生自己去探究模型的本质，归纳模型，又达到了演绎模型的目的.这种解决模型泛化，减轻学生学业负担培养学生高阶思维的几何建模教学模式凸显出了其特有的教学价值.
关键词：几何建模；相似三角形；高阶思维
1. 题目呈现
如图，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明EF+EG=CH.
近期，笔者所在的地市举办了初中数学教学技能竞赛（说题）活动，其中一道说题题目如上.在讨论过程中，笔者发现部分教师对一题多解，一题多变，多题归一不理解或者理解有偏差，也不知道这种解题教学课该怎么上.后来笔者通过对问题深入分析，设计出如下教学过程.
2. 教学过程
2.1模型提出
问题1：观察图1，说一说图中有几个三角形，分别是那些？图2，图3呢？
设计意图：学生已经掌握了三角形相似的性质，但在做题中遇到更多的是两个三角形相似的问题.通过情境创设，让学生把目光聚焦在三个三角形相似的问题中，来打破学生的传统认知，激发学生的问题意识.
2.2模型探究
环节1 开山引路
问题2：如果图1中的三个三角形相似，除了对应角相等，对应边成比例外，你还能得出那些结论？
设计意图：从简单问题入手，为后面学生对复杂模型的自主探究做好铺垫.这是一道开放性问题，可以得到很多结论，有简单的，也有复杂的，这样的探究活动可以让不同层次的学生都参与进来.
问题3：这么多的结论，这些结论可以分类吗？如何分？
设计意图：学生得出的结论不是每个结论都值得深入研究的，这里引导学生对结论进行分类，可以发现更有价值的结论.从而引出这节课研究的重点结论：线段的和差① BD+EF=BA；② CF+ED=CA.
问题4：如何证明这些结论呢？
设计意图：从发现到证明，把学生的思维一步步引入深处.学生容易想到用几何法去证明，从角的关系到边的关系，完成证明，几何法关键是要有平行四边形.
问题6：还有其他证明方法吗，如果从边入手又如何去证明呢？
设计意图：刺激学生从多个视角探寻解题思路，使其在一题多解的过程中体会数学思想方法.如果从边入手，就会用到代数法，虽然对运算能力有一定要求，抽象性也增加了，但这种解法更具有一般性.
环节2 身临其中
问题7：如果图2中的三个三角形相似，结论① BF+EA=BC；② DF+ED=CA还成立吗？
设计意图：环节1带领学生完成了整个问题的探究路径，探究方法也进行了多元化，现在正是学生想要大展身手的时刻.图2跟图1具有相同特征，类比探索更能增加学生的自信心.
环节3 突破重围
问题8：如果图3中的三个三角形相似，结论① BD+CF=BA；② EF+ED=CA还成立吗？
设计意图：思维要从各个方面去打开，恰当的设置障碍，更有利于思维的生长.图3不再有平行四边形，明显难度增加了.几何法不能直接使用，代数法仍然可以解决，这里凸显出代数法的意义.思维敏锐的学生能够发现，可以通过截长补短法构造出图1，再用几何法来求解，这就是转化思想.
2.3模型归纳
问题9：我们已经解决了与三个模型有关的问题，这三个模型都有什么共同点？条件上的共同点，结论上的共同点.
条件：
结论： a=b+c
设计意图：通过模型归纳，让学生对问题进行总结归类，从而发现问题的本质，为后面更深入的探究做好铺垫，进一步培养学生的高阶思维能力.
2.4模型应用
应用1 简单应用
问题9：已知RtΔBFE∽RtΔCGE∽RtΔBHC 且 BE+CE=BC.求证： EF+EG=CH.
设计意图：一般问题特殊化，这里最容易想到的是代数法，因为与图形的位置无关.这时追问学生在特殊的直角三角形中还可以用什么方法来解决？让学生探索出三角函数法.再追问学生，是否可以用几何法来证明？如何证明？这个证明难度大得多，需要学生用截长补短法构造出三个三角形相似的几何模型.从开始求解模型，再转变到学生自己构造模型，达到培养学生逆向思维和空间思维的目的.
应用2 复杂应用
问题10：如图，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明EF+EG=CH.
问题11：对方法进行一个总结？
设计意图：简单问题复杂化，培养学生从复杂问题中，剥离出问题核心的能力，以及在特殊图形中随机应变的能力.几何法有截长法、补短法、面积法等，代数法有三角函数法、相似比法等.比如此题中几何法用面积法来证明更简单.
2.5模型迁移
变式1：点E在BC的延长线上，如图，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系？
变式2：如图，在等腰梯形ABCD中，点E是边BC上一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系？
变式3：观察图1，图2，图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有这样的线段的关系，写出相关题设的条件和结论？
设计意图：通过问题变式教学，培养学生演绎模型的能力，变式1点动，线段关系仍然成立，变式2形变，线段关系仍然成立，变式3让学生自主命题，发散学生的思维，达到真正培养学生高阶思维的目的.
2.6模型总结
几何模型有很多，我把它分成母模型和子模型.先由子模型归纳出母模型，培养学生总结归纳能力.再由母模型，探索出更多的复杂的子模型，培养学生模型演绎能力，让学生真正体会到万变不离其宗.
3.结束语
解题教学中，党规教学思路就是从问题直接入手，进行多角度分析，探索一题多解.由于相似三角形问题比较复杂，掌握一种解法都很困难，学生更不能理解一题多解的意义，解法显得很碎片化，因此多解归一很重要.解题教学的最终目标就是要通过会解一道题，实现会解一类题.但在几何建模教学中存在很多误区，比如老师直接总结出很多相似三角形模型，然后告知学生这些模型，这种模型泛化加重了学生的学习负担，同时容易固化学生的思维，导致学生的思维始终处于低阶思维状态.为了改变现状，笔者转变思路，通过模型的生长规律设置恰当的问题情境提出模型，让学生经历模型提出，模型探究，模型归纳，模型演绎，模型总结等这些重要的教学环节，即教会了学生自己去探究模型的本质，归纳模型，又达到了演绎模型的目的.这种解决模型泛化，减轻学生学业负担培养学生高阶思维的几何建模教学模式凸显出了其特有的教学价值.
- 【发布时间】2023/3/8 16:32:52
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