——以“杨辉三角与两数和的乘方”为例

  摘 要：综合性学习是一种有效的学习方法。教师应组织学生开展综合性学习，明晰知识的产生、发展和创造，实现真探究。同时在综合性学习中展现知识的赓续和拓展，体现学生学习的主动性和活动性，强化数学学习的思想和方法，从而真正实现学科育人。
　　关键词：综合性学习；探究；杨辉三角
　　综合性学习是一种有效的学习方法。学生在教师的指导下，从学生的学习生活中提出课题研究或者从专题活动的全过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题，并获得亲身参与的体验或者经验。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学课程要培养学生核心素养，其中之一就是会用数学的思维思考现实世界。基于学生的认知发展状况，综合性学习显得越来越重要。综合性学习从学生独立自主学习开始，教师的启发引导为主线，让学生逐步形成质疑问难、勇于探索的科学精神，培育学生对数学的好奇心和求知欲，逐步形成数学理性精神。笔者开设了“杨辉三角与两数和的乘方”公开课，教学中尝试综合性学习理念，让学生经历数学学习的过程，效果良好，现将教学过程与思考整理如下，供读者研讨交流。
　　1、教材分析
　　“杨辉三角与两数和的乘方”一节内容来自七下（浙教版）的阅读材料，是整式乘法学习的拓展和延续。更重要的是学生通过对杨辉三角的发展史学习，感悟数学历史，增强民族自豪感和家乡自豪感（杨辉杭州人）。同时，有助于学生对二项式定理的了解和学习，对高中数学学习起到了前瞻性作用。
　　1.1  教学目标
　　（1）掌握杨辉三角数阵的排列规律；了解杨辉三角相关的其他规律；掌握杨辉三角与两数和的乘方的关系；了解杨辉三角的数学史。
　　（2）会用杨辉三角数阵写出二项式展开式，体验数阵魅力。
　　（3）通过探究活动串，提升学生数感素养以及探究能力；通过数阵学习，体验数形结合思想。
　　1.2  教学重难点
　　重点：探究杨辉三角与两数和的乘方的关系
　　难点：经历探究过程，通过综合性学习探究杨辉三角的其他隐藏规律及探究杨辉三角与两数和的乘方的关系
　　2、教学过程
　　2.1  创设情境，抽象数阵
　　问题1：欣赏河图、洛书中的两幅图，如图2-1所示。感悟中华灿烂文化，产生国家自豪感和归属感。










图2-1-1 《易·系辞上》的河图与洛书









图2-1-2  数阵意蕴下的河图与洛书



　　追问1：同学们，我国《易·系辞上》说“河出图，洛出书，圣人则之”。是黄河出“图”，洛水出“书”，“圣人”依此作卦，传说伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州，可以说河图、洛书是华夏文化的源头，是五行术数之源。可是你知道吗？河图、洛书也是世界上最古老的数阵。如图2-2所示，欣赏数阵之美。数阵就是将数字按照一定顺序组合成图形。
　　今天我们就一起以杨辉三角为载体，感受数阵的魅力。
　　杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数 （垛积数）；牛顿用它算微积分；华罗庚思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些奥秘呢？ 
　　功能分析：结合华夏文化，以数阵的介绍作为导入，并介绍杨辉三角在数学史中的重要地位，引出课题。
　　2.2  综合学习，探究数阵
　　【探究1】探究杨辉三角的数字排列规律
　　问题2：观察杨辉三角数阵，你能发现数字排列的规律吗？
　　请独立思考，总结你发现的规律，并依据规律再写几行。杨辉三角中的数字矩阵如图2-2-1所示。
　　追问1：杨辉三角中隐藏的有趣的数字规律有哪些？
　　生1：每行除首末两个1外，其余各数都等于肩上两数
　　之和。
　　生2：每一层的和与2的幂的关系：第n层的和为2（n-1）
　　生3：每一层上表示的n位数与11的幂的关系：11（n-1），
　　具体如图2-2-2所示。






图2-2-1  杨辉三角数字矩阵图









图2-2-2  n位数与11的幂之间关系图







图2-2-3  杨辉三角数阵的对称性

　　追问2：你观察到的杨辉三角数阵排列中的数字特征有哪些？
　　生1：杨辉三角中的数字结构特征：对称性。具体如图2-2-3所示。
　　生2：我们按照斜列去看杨辉三角数阵特征，会发现有三列数字分别代表自然数、三角形数和四面体数。具体如图2-2-4所示。









图2-2-4  杨辉三角与自然数、三角形数、四面体数的关系图
　　【探究2】杨辉三角与两数和的乘方的关系
　　问题3：请同学们独立完成以下多项式乘法计算，然后以小组为单位进行讨论，两数和的乘方与杨辉三角有什么关系呢？（5分钟后进行小组汇报）
　　（a+b）0=       （a+b）1=      （a+b）2=      （a+b）3=      （a+b）4=
　　全体学生：学生以小组为单位进行讨论，分析每项a、b的指数，每项的次数，每项的系数，进行小组展示。
　　生1：总结出（a+b）n展开式的系数是杨辉三角数阵的第n+1行。具体如图2-2-5所示。






图2-2-5  杨辉三角中的数字矩阵与   展开式中系数的关系

　　生2：字母a， b的指数和为n，而且a做降幂排列，b做升幂排列。
　　追问1：（a+7）6可以被7整除吗？
　　生：因为（a+7）6=a6+6a5·7+15a4·72+20a3·73+15a2·74+6a·75+76
　　所以（a+7）6不能被7整除。
　　追问2：今天是星期三 ，再过86天后是星期几？
　　生：（1+7）6=16+6×15×7+15×14×72+20×13×73+15×12×74+6×1×75+76
　　同样先用杨辉三角将（1+7）6进行展开，因为每周7天，而除第一项每一项都含有数字因数7，所以只要看第一项1，应该是星期四。
　　【探究3】杨辉三角数阵在中国象棋棋盘中的展示
　　问题4：中国象棋棋盘中蕴藏着深刻的数字游戏，如兵的行走路线图条数，你会大吃一惊，那么其中的奥妙是什么呢？试试看。具体操作图如图2-2-5所示。
　　追问1：你了解象棋兵过河后的走法吗？
　　追问2：如果现在兵与将的位置如图所示，兵走到将的位置最短路线会有几条？
　　追问3：兵到各红点的最短路线有几条？请写出条数，观察数字，你有什么发现吗？






图2-2-5  杨辉三角数阵在棋盘中的应用图（兵的路线条数）

　　功能分析：通过三次探究活动设计，让学生参与学习，参与分析和解决问题，实现用数学的思维思考杨辉三角，用数学语言表达杨辉三角，让学习在活动中真实发生，实现“做种学、用中学、创造中学”。
　　2.3  成果展示，回顾数阵
　　成果1：小组展示杨辉三角的数学史卡片
　　学生自主学习，查阅相关资料，了解杨辉三角发展历史及其变迁历史，利用年代尺，清晰呈现。如图2-3-1所示。





图2-3-1  杨辉三角发展历史年代尺

　　成果2：学生综合学习思维架构图
　　学生对本节课的学习进行总结，建构学习模型，整合学习成果，促成核心素养的养成。具体思维结构图如图2-3-2所示。








图2-3-2  杨辉三角综合学习思维架构图

　　功能分析：1.让学生聆听数学背后的故事，感受源远流长的数学文化和中国古代数学文化的辉煌历史：中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位，中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发明确实是十分精彩的一页，民族自豪感油然而生。2.先让学生自己进行梳理，培养学生将知识自主系统化，最后由老师进行整理总结。 真正是实现了学科育人。 
　　2.4  二次学习，拓展数阵
　　布置作业：1.继续整理杨辉三角数学发展史，了解牛顿二项式定理，并与同学交流。
　　2.拓展杨辉三角数阵，自编相关问题。
　　功能分析：通过整理杨辉三角数学发展史并且自编和拓展两数和的乘方相关问题，让学生再次深刻感悟中华民族灿烂文化，增加数学思考深度，积累综合性学习方法，提升个人素养。
　　3、教学思考
　　综合性学习中，教师的任务是引导学生去主动学习，获得真实的知识，而不是把现成的知识灌输给学生。综合性学习可以更好地促使学生发现和创造问题，彰显学生个体主动探究问题的特征。
　　3.1  综合性学习实现了知识的生长和拓展
　　通过本次综合性学习在探究杨辉三角和两数和的平方规律中的实践，实现了知识的生长和拓展。学生在质疑问难中学习，前瞻性地了解了牛顿二项式定理，对排列和组合产生了极大的兴趣，同时还了解了牛顿二项式定理和杨辉三角的关系，知识在拓展，视野在扩大，思维在提升。
　　3.2  综合性学习体现了学习的主动性和活动性
　　综合性学习将学生置身在一个鲜活的学习环境中，基于学生的经验，去探究学习，巩固拓展知识。学生通过一系列的活动对杨辉三角和两数和的平方以及产生的数阵进行主动探究和学习，发现其中奥妙，唤醒学生的好奇心，激发了学生的学习兴趣，驱使学生主动卷入到探究和尝试体验活动中，真正实现了用数学的思维思考现实世界。
　　3.3  综合性学习彰显了数学学习的创造感与美感
　　综合性学习使得学生关注生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动，通过观察、思考、尝试体验等学习方法获得数学知识，欣赏并尝试创造数学美。如观察杨辉三角数字矩阵中，学生发现矩阵的数字存在对称美，就是在观察学习中创造的数学美，使得数学学习熠熠生辉。
　　4、结束语
　　通过综合性学习实现学科育人的教学实践，笔者认识到，综合性学习凸显的是学生的自主参与和实践，让学习真实发生。学生探究知识的形成过程，亲自建构知识，应用知识，真正培养学生“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”的数学核心素养。
　　参考文献：
　　[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2022年版）[M]. 北京： 北京师范大学出版社， 2022.
　　[2] 张扬.单元探究性教学的实践及思考——以“一元二次方程的解法”为例[J]. 中学数学教学参考，2021（12）：8-10.

• 【发布时间】2023/6/7 12:30:40
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