——《§5.1认识一元一次方程》教学案例

　　摘 要：以“猜老师年龄”的小游戏切入课题，激发学生兴趣，再用4个情景连接各环节，紧扣课程主线；通过启发式提问、小组讨论，利用从特殊到一般，循序渐进的教学方法，不仅降低了探究的难度，还增强了学生的成就感，更重要的是大大提高了学生探究数学规律的自信心。通过单元教学起始课的课型特点知道本章主要是从“三会”的角度认识一元一次方程，理解一元一次方程，应用一元一次方程解决生活中的实际问题。本节课的结构化板书也是精心构思而成的，留给学生充足的思考问题、小组活动、做题的时间，让学生融入课堂，渗透方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
　　关键词：方程；启发式提问；单元教学起始课；三会；结构化板书；模型
　　【教学背景】 
　　1、教材分析 
　　方程是中学数学的重要内容，一元一次方程作为内容最基本、形式最简单的方程，在初中数学中占有极其重要的地位。一元一次方程在整个代数知识的学习中起着承上启下的作用，一方面是对已经学过的代数式、有理数的运算、整式的加减等知识的巩固和加深，另一方面又为今后学习方程组、分式方程、函数等知识奠定基础，尤其是一元一次方程在解决实际生活问题中的应用，充分体现了数学知识来源于实践，又指导实践的辩证关系。
　　本节课让学生体会一元一次方程作为一个解决问题的模型，在现实生活中的应用是十分有效而且广泛的。教材十分强调具体问题具体分析，从而得到不同问题的不同解决方法。学生在学习中，既可以增强应用数学的意识，提高分析问题、解决问题的能力，又可以养成学以致用的好习惯。同时，学生在研究一元一次方程的过程中除了知识、技能和思想方法的收获以外，还可以提高对数学学科的整体认识。整个研究过程也符合2022版《课标方案》中的“三会”要求。
　　2、学情分析 
　　学生在小学期间已学过等式、等式的基本性质以及方程、方程的解、解方程等知识，经历了分析简单数量的关系，并根据数量关系列出方程、求解方程、检验结果的过程。对方程有一定的认知，但并没有学习“一元一次方程”准确的概念；另外在探究活动中，学生可能难以由特殊问题总结出一般性的结论，教师应鼓励学生大胆发言，言之有理即应鼓励，再引导学生逐步完善结论。
　　【教学目标】
　　1.通过对多种实际问题中数量关系的分析，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
　　2.通过观察，归纳一元一次方程的概念，理解方程解的概念。
　　【教学重难点】 
　　重点：会根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程。 
　　难点：通过对实际问题的分析，正确设出未知数，找出题目中隐含的等量关系，列出一元一次方程根据具体问题中的数量关系列一元一次方程。
　　【教学过程】 
　　一、“一元一次方程”单元起始课教学流程 
　　教学环节1：小游戏（从算式到方程）
　　“猜老师年龄”：老师的年龄乘以3再减去17刚好为73，
　　问题：那现在你能知道老师的年龄吗？你是怎么猜？
　　教学预设：有同学认为用算式算，更多同学用方程解决，都能算出老师的年龄是30岁.
　　问题：找两个同学来做“猜年龄”的小游戏.那现你能猜出她的年龄吗？你是怎么猜？
　　【设计意图】 有意思的“猜老师年龄”小游戏，不仅可以缓和紧张的课堂气氛，还可以引出猜学生年龄问题。在猜测教师年龄时通过太大、太小、接近了，来确定年龄的范围，为后续尝试、检验法做铺垫。在计算教师年龄时一般会出现三种情况：凑的方法 （尝试、检验法）、算术的方法、方程的方法，通过比较让学生感悟在数量关系相对复杂的情况下，相比列算式，列方程显得更直接、更自然，体现了方程的优越性，从而引出课题—方程.
　　教学环节2：情景引入 
　　情景1：小颖种了一棵树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米？
　　教学预设：单位的换算可能有学生存在问题，可作简单解释。
　　设x周后树苗长高到1m，那么可以得到方程： 
　　情境2：某正方形的面积是16 平方米，求正方形的边长是多少米？
　　教学预设：设正方形的边长为 x m，则可以得到方程：
　　情境3：曲江二中的操场跑道一圈是300m，上周同学们跑一圈的速度比开学第一周一分钟多跑了100m，因此跑一圈少用了30s，求同学们开学第一周跑一圈的速度？
　　教学预设：切合学生实际，比较有意思，教师在这里多做引导。
　　设同学们开学第一周跑一圈的速度为x m/min，则可以得到方程：
  300/x-300/(x+100)=30/60
　　情境4：古代故事
　　隔墙听得客分银，不知人数不知银.
　　七两分之多四两，九两分之少半斤.
　　（注：在古代1斤是16两，半斤就是8两）
　　古诗文意思：
　　有几个客人在房间内分银子，每人分七两，最后多四两，每人分九两，最后还差八两，问有几个人？有几两银子？
　　教学预设：古代故事中的数学问题，参透数学文化。
　　设有x个客人在房间内分银子，则可以得到方程：7x+4=9x-8
　　教学环节3：启发式提问，小组讨论，归纳总结
　　问题1：通过4个实际情景的探究，能否总结出用方程解决实际问题的一般方法？
　　问题2：方程的定义是什么？
　　问题3：在这5个方程中，哪几个是同一类？
　　说明：七年级主要研究整式方程
　　小组活动：给大家2分钟，4个人一组讨论这3个整式方程的共同特点？
　　教师提问：请每组派代表给大家分享一下
　　教师板书：
　　在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
　　规定：未知数用小写英文字母表示，如x,y,z
　　学生接龙作答：
　　判断下列各式是不是一元一次方程.
　　①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1；⑤x＋3>0；⑥2x2-2(x2-x)=1；⑦■-7=4；⑧πx＝12.    
　　通过对第8个方程为什么不是一元一次方程的解释，归纳出一元一次方程概念中需要满足的三个条件.
　　教师总结：
　　判别一元一次方程的方法：        
　　①只含有一个未知数；
　　②未知数的次数是1；
　　③等式两边都是整式.
　　教学环节4：典例运用
　　例1：若关于x的方程2xm－3＋4＝7是一元一次方程，求m的值.
　　教学预设：根据一元一次方程的定义可知m－3=1，所以m=4.
　　变式训练：
　　1.xk-1+21=0是一元一次方程，则k=______；
　　2.x|k|+21=0一元一次方程，则k=______；
　　3. (k-1)x|k|+21=0是一元一次方程，则k=_____ ；
　　4.(k+2)x|2|+21=0是一元一次方程，则k=______.
　　【设计意图】通过变式训练，让学生理解一元一次方程的概念；设置四个难度递增的问题。一是引导学生一步一步深入思考，二是为了降低难度，让学生感受到解决问题带来的喜悦与成就感。 
　　例子引入，提问学生：
　　在“猜老师年龄”的游戏中，所列的方程为3x-17=73，从而求出老师的年龄是30.
　　x=30代入这个方程左右两边是否相等？
　　x=20代这个方程左右两边是否相等？
　　由于30能使方程的两边相等，我们就把30叫做方程3x-17=73的解.
　　教师板书：
　　使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
　　例2：检验下列各数是不是方程5x-2=7+2x的解，写出检验过程．
　　（1）x=2；　　　（2） x=3.
　　教师板书：
　　解：（1）将x=2代入，左边=8，右边=11，左边≠右边，      
　　故x=2不是方程5x-2=7+2x的解．
　　方法总结：代入验证法
　　【设计意图】“尝试检验法”解方程是浙教版教材相比其他教材所特有的，其目的是让学生经历尝试检验的过程，如何确定未知数的较小取值范围，如何逼近方程的解，感悟解方程的思想和方法. 由教师的年龄问题自然地引到丢番图的年龄问题，借此介绍代数、方程的发展历程。
　　讲解例题：
　　1、根据下列问题，设未知数并列出方程： 
　　（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
　　（2）一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h？
　　首尾呼应：
　　这节课的学习目标是认识一元一次方程，理解一元一次方程，应用一元一次方程解决实际问题.
　　教学环节5：课堂小结，并完善结构化板书
　　本节课的内容：
　　1.一个模型：方程是刻画现实世界、解决实际问题的有效数学模型
　　2.两个概念：一元一次方程和方程的解
　　3.三种方法：
　　1）判别一元一次方程的方法
　　2）判别方程解的方法
　　3）列方程的一般方法
　　二、教后反思 
　　1.理解学情，引导学生从算式思维向方程思想的转变
　　通过研究新课标和学情，了解学生小学阶段只是初步了解方程，并会解简单的方程；而初中阶段将系统学习不同类型的方程，即使是一元一次方程，在中、小学的教学要求也不一样，初中阶段会对一元一次方程给出“描述性定义”。这样的定义方式主要是体现从算式思维向方程思想的转变，立足中小学衔接，让学生更容易融入课堂，认识一元一次方程。 
　　2.基于切近学生实际的情景驱动，循序渐进的解决问题 
　　以“猜老师年龄”的小游戏切入课题，激发学生兴趣，再用4个情景连接各环节，紧扣课程主线；通过启发式提问、小组讨论，利用从特殊到一般，循序渐进的教学方法，不仅降低了探究的难度，还增强了学生的成就感，更重要的是大大提高了学生探究数学规律的自信心。
　　3.以学生为主体，讲练结合，紧扣核心素养中的“三会”，从而总结一元一次方程判断的三个要点
　　以学生为主体，引导学生用数学的眼光观察现实，用数学的思维思考问题，进行小组讨论，用数学的语言进一步发言总结一元一次方程；重难点部分充分讲解，引导学生认识一元一次方程和理解一元一次方程；再结合典型题目练习巩固，让学生通过接龙的方式回答问题，提高课堂参与率。
　　4.总结渐次呈现的板书，升华课堂
　　本节课的结构化板书也是精心构思而成的，而且随着学程的推进，不断采集学生的课堂生成，从“零星”地书写在黑板上的“相应位置”（课前要有精心的布局与规划），到课堂小结时完善成结构化板书，体现了师生“同构板书”的教学特点。这样的板书非常适应单元教学起始课的课型特点，通过一元一次方程单元起始课的结构化板书，学生对本章即将学习的内容、路径、方法一目了然，知道本章主要是认识一元一次方程，理解一元一次方程，应用一元一次方程解决生活中的实际问题。
　　5.留白——不可或缺的美
　　本节课留给学生充足的思考问题、小组活动、做题的时间，让学生融入课堂，渗透方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
　　参考文献： 
　　[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
　　[2]中华人民共和国教育部制定.《义务教育数学课程标准（2022年版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2022.
　　[3]冒琳琳.理解数学：单元起始课教学设计的关键—以“一元二次方程（第1课）”教学为例[J].中学数学（下），2019（10）.
　　[4]义务教育教科书.数学（七年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2021.
　　[5]秦秀华．初中数学一元一次方程教学透析[J]．数学学习与研究，2015（ 10）： 23．
　　[6]刘芳.有效启发思考 回归教学本质：以“一元一次方程”教学设计为例[J]. 中国数学教育（初中版），2013（4）：30-35.
  作者简介：姚丹，女，1991.11，汉，陕西省西安市，硕士研究生，研究方向为数据挖掘、机器学习。

• 【发布时间】2023/6/7 12:33:26
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