——以“二次函数”复习课为例

  摘 要：思维是数学学习的灵魂所在，中考复习课是提升、优化思维的重要载体。因此，立足新课标、新中考“双新”视角，通过对一道中考试题的内涵深挖，展开递进式探究，学生在不断的问题解决过程中，重构知识体系，实现思维进阶，促进素养落地，深化育人价值。
　　关键词：核心素养；思维进阶；实践
　　《义务教育数学课程标准（2022版）》强调，课程结构应凸显数学自身的整体性和一致性，应注重提高学生综合运用所学知识解决问题的能力，提升学生核心素养。新中考要求，严格依据新课标，根据不同学科特点，增加探究性开放性、综合性试题，促进有效考查学生综合素养。因此，在新课标和新中考（后面简称“双新”）的大背景下，中考复习课须立足发展学生核心素养，选取考查学生综合能力的经典试题为载体，以问题为导向，借助从“一题多解”到“多解归一”，从“一题多变”到“多题归一”，层层递进，达成学生思维能力再进阶、素养目标高发展。
　　一、课前环节：依标定题，着力学的设计
　　数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用，数学教育承载着落实立德树人的根本任务。因此，尝试从如何用好中考复习课这个支架，展开对其育人价值的探究。
　　（一）命题立意，勾出主题线
　　《标准（2022版）》在学业水平考试命题中强调，要以凸显育人导向为原则，充分依托学科知识结构，突出对学科素养的考查。函数作为整个初中阶段的核心知识与重要的数学模型，是“数与代数”领域的重要内容。它统领着代数式、方程、不等式，连接起“图形与几何”与“数与代数”。其蕴含的丰富的数学思想与方法，是培养和考查学生学科核心素养的重要载体，是历年中考命题的热点。
　　在命题立意、素养导向下，进行有聚焦有主线的专题复习，不仅让学生获得数学知识、方法、经验，提升思维能力，发展核心素养，也实现数学育人的基本价值。










　　函数重要地位，贯穿始终，是学习的一条主线。因此，作为函数中的压轴大戏“二次函数”的复习，应先明确其核心素养，借此勾出专题复习课的一条明暗并行的主题线（图1）：明线为理解和应用知识，暗线是指以该板块研究的思想方法及经验统领问题，经深入探究形成问题解决一般路径，指引学生在研究其他数学问题时做到类比迁移、触类旁通。
　　（二）分解课标，划出知识网
　　《标准（2022版）》在每个领域的课程内容按“内容要求”、“学业要求”、“教学提示”三个层面进行呈现。其中学业要求的意义在于明确学段结束时，学习内容与相关核心素养索要达成的程度，即明确学到什么程度。二次函数板块共有四个条目，通过剖析描述不同行为目标（过程目标、结果目标）的动词，体现学生对知识掌握、思考程度的不同要求，是指向不同核心素养的基本条件。从课标的学业要求条目的动词出发，划出基于不同层级水平的知识网（图2）。如体会二次函数的意义，意在获得具体经验即可；会求二次函数的最大值或最小值，其要求是理解层次；能画二次函数的图像，即要求学生掌握画图、读图、用图的关键能力，直指“三会”的核心素养。














　　（三）深析学情，圈定聚焦点
　　学生已经系统学习了初中阶段所有函数知识，对概念有一定的理解，具备一定的运算能力和动手操作能力，但于具体情境中结合图象和性质分析、解决问题的能力还比较欠缺。为更精准地了解学生对该板块知识掌握情况，尤其是对基础核心知识的应用能力，提前让学生完成一组一题多问的梯度自测题（图3）。结果显示，学生利用增减性解决问题能力较薄，由此为切口展开复习探究，确定专题复习学习重难点。













　　1.重点：进一步认识二次函数本质特征，加深对其图像、基本性质的理解。能从不同已经条件出发，利用图象及不等式（组）、二次方程进行分析求解相关问题，培养学生大胆思考、勤于探索的精神，加强学生几何直观和代数推理能力。
　　2.难点：对称性、增减性应用是难点，运用数形结合、分类讨论等思想方法解决二次函数相关问题存在困难。
　　二、课中环节：铺设支架，致力思维进阶
　　考虑学生学习能力差异较大，结合该学段学生数学学习特点、心理、认知规律，选取典型试题作为支架，逐步做好台阶铺设，让每个学生都能在最近发展区思考探究，使其创新意识、素养能力都有不同程度地发展、提升。
　　（一）题意再挖，抓住思维起始点
　　不妨以2021年北京市中考26题（图4）为例说明。该题是关于二次函数的综合题，考查二次函数的性质，涉及待定系数法、点到对称轴的距离、作差比较大小等。解题关键是利用数形结合、二次函数与不等式的关系。









　　根据前测情况，绝大多数学生可以顺利完成第一问，第二问涉及较多参数，需借助函数对称轴，利用数形结合尝试问题解决。于是选择以低起点的开放式问题引入课堂，使其积极主动地投入思考，唤醒学生认知。
　　支架铺设1：请观察函数图象（图5），你能获得哪些信息？
　　支架铺设2：请添加一个条件，求函数表达式.
　　设计说明：学习的每个阶段都有相应的思维层与之对应。根据学生思维发展顺序，通过设置富有启发性的由浅入深的开放问题，逐步引导学生在看图获得信息，添加一个条件求解析式的探究中，激活思想，构建起清晰的知识网络图。做好底层巩固，让更多学生投入真正的思考中，并从思考上升至思维形成思想，从单一思维走向立体思维，保持思维源头又“活”又“深”。另外，学生在对知识进一步的建构中，找到知识的生长点、应用的关键点，为学习的不断进阶奠定基础。










　　（二）探寻本质，直击思维突破点
　　支架铺设3：若点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在抛物线y=x2-2x图象上，请比较y1，y2，y3的大小，并说明理由.
　　设计说明：在前面的支架铺设2中，若添加的条件为二次项系数a=1，易得函数解析式为y=x2-2x，在此基础上延续、提升，演变出下一个问题，这样将知识间的逻辑关系前后贯通，体现整体设计，利于紧紧抓住学生的注意力，让其持有高度的探求欲，思维始终处于极为活跃的状态，助力问题突破。
　　学生尝试从各个不同视角思考、分析问题，感悟并提炼函数值大小比较的方法，即点到对称轴的距离作差比较（数形结合法）、代入求值作差比较（代数法）、函数增减性比较（数形结合法）。学生在经历多种方法选择和比较过程中，获得解题经验，掌握通性通法，在一题多解和多解归一中，让思维向更高层跃迁。
　　支架铺设4：若点（m，y1），（m+1，y2），（1，y3）都在抛物线y=x2-2x图象上，请比较y1，y2，y3的大小，并说明理由.
　　进一步追问：由上述问题的解决，你有哪些解题经验？请分享.
　　设计说明：由抛物线上三个具体的点的大小比较，到带有字母参数的三个点的大小比较，从特殊到一般的设问，为学生搭起思维的阶梯。如前面环节的思考分析已知（1，y3）为函数最低点，则y3最小。问题转化为先比较y1，y2的大小，学生根据已有的比较函数值大小的经验，自发地、不断地与同学进行有效的对话和协作，步步逼近问题的解决，探得函数本质，获得多元解题策略，深化类比、转化的数学思想，顺利突破思维堵点，进而提升素养。
　　（三）问题链驱，开拓思维创新点
　　支架铺设5：点（1，m）和点（3，n）在抛物线y=x2+bx上.已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上.若m<0<n，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由.










　　设计说明：变具体的二次函数为带参数的不确定二次函数，将问题一般化，引导学生结合已有经验进行关联，从题干处的已知条件和设问分别进行提问，激活学生思维，加深题意理解，形成解题思路（图6）。考虑参数字母较多，不易确定对称轴的范围，引导学生尝试用代数运算作差的方式解决问题。给足学生自主思考探究的时间（先尝试自行解决，后小范围同桌或前后桌间进行合作交流）。
　　注重问题链式递进，从条件的强化、弱化、特殊化、一般化等方面不断进行变式，驱动学生深入思考探究，更全面地认清问题，体悟问题解决过程，拓宽思维创新点。如把已知条件二次函数解析式一个待定系数变成两个待定系数，再将m<0<n变成mn<0，需要分类讨论即得21年北京中考26题。学生在看清问题本质基础上，解决中考题便如鱼得水，水到渠成（如图7、8）。








　　直击中考：点（1，m）和点（3，n）在抛物线y=ax2+bx（a＞0）上.已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上.若mn<0.比较y1，y2，y3的大小，并说明理由.
　　思路一：点到对称轴的距离作差比较（数形结合法）










　　创新点：根据题干条件，利用不等式（组）的求解、函数与不等式的关系等方法，通过代数推理得到函数图象对称轴范围。其中详解3利用图象解一元二次不等式，为高中进一步学习做铺垫。
　　思路二：代入求值作差比较（代数推理法）
　　创新点：借助分类讨论的数学思想，利用不等式组求解纯代数推理的方式得到函数值大小比较的结果，学生代数推理能力得到很好的训练和提升。
　　三、课后环节：反思提高，助力学科育人
　　通过课堂实践，学生在问题解决过程中完成知识脉络的梳理建构、多元解题策略的内化，思维从无序到有序，从从散状到聚合，学习从浅到深。对课堂重难点的突破程度、学生思考参与状态、素养能力的提升情况等进行反思，及时调整改进复习课的方向，提高效度。
　　（一）结构式梳理知识，揭示本质
　　《标准（2022版）》强调，数学学习，要重视知识的生长和延伸，注重形成结构体系。在专题复习中贯穿明暗双线并进的学习主线，引导学生通过一题多解，对解题不同思路进行提炼、归纳，加深理解其内在联系，梳理成结构网。在由易到难、层层递进地问题解决过程中，学生更好地理解知识的本质。
　　本节课中，以解决比较函数值大小为任务，情境从特殊到更一般不断变化，让学生充分感受核心知识对称轴。课堂的适时追问，引导学生通过合作交流，寻找关联，联想尝试，获得思路，优化解法，总结经验，获得成功。如此循环往复，使学生的学习更深入有效，培养不畏困难、质疑批判、勇于探索的理性精神。
　　（二）曝光式呈现思维，指向能力
　　创设开放性的问题情境，激发学生不断思考，使其思维更具结构性。通过变式对一道题深入挖掘、探究，多角度思考、多解法展示，让学生在合作探究、对话交流中暴露自己的思维层级、能力。“提出一个问题比解决一个问题更重要。”让学生不断质疑提问，在思维碰撞和曝光、矛盾冲突中完成知识的升级、思维的进阶，实现“不同的人在数学上得到不同发展”。
　　本节课中，学生在充分挖掘题目条件后，将问题转化为通过数形结合，利用点到对称轴的距离大小或者直接代入求值作差，进一步比较函数值大小。寻得多种解法后，引导学生加强方法间的关联，拓展自己的思维空间，并选择最适合自身的最优解法，从而培养学生运算推理能力、问题转化迁移能力。
　　（三）循证式展开评价，发展素养
　　数学素养是数学的基本思想，是培养学生理性思维的构成要素。《标准（2022版）》要求在评价实施过程中“注重对学习过程的观察、记录与分析，倡导基于证据的评价”。关注学生真实发生的进步，积极应用增值评价，看到学生思维进阶的过程。具体指关注学习过程，加强对话交流，注重操作实践，激励学生学习。通过课堂观察，借助评价工具、展开学生自评、互评，检测素养目标的达成度。
　　本节课中，利用前测、课堂观察表（包括对学生课堂参与状态、合作深度、认知表达、交流反思等维度进行立体评价）、课后自评表，让学生思维过程、学习情绪、学习成果都被看到，激励他们学习的热情和信心，促使知识的生长，能力的提升，素养的发展，最终实现学科育人的价值功能。
　　四、实践感悟
　　基于“双新”背景，以一道经典的中考题为支架，围绕“二次函数核心性质”展开中考专题复习课的探究，为解决其他函数问题提供可参考借鉴的思考路径，为代数其他板块问题的研究提供一般方法，也为其他中考专题的有效复习提供蓝本。当然，如何根据学生所处的水平，选取相应知识板块的切入口，一步步做好支架的铺设，促使学生思维进阶？如何通过引导学生的学，为学生思维进阶注入持续的动力？如何更好地利用循证评价学生的学习，检测学生的素养目标达成情况，及时调控课堂？所有的问题，都是为了更好地实现学科育人，唯有不断实践探索、反思改进，坚持“标”新学习，“题”升能力，“课”守素养，定能使师生都得到应有的发展，愈发靠近教育的美好。
　　参考文献：
　　[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.
　　[2]刘晓玫.深度学习：走向核心素养（学科教学指南·初中数学）.北京：教育科学出版社，2019.11.
　　[3]朱月红，万荣庆.理解函数本质渗透函数思想[J].中学数学教学参考（中旬），2015.11.

• 【发布时间】2024/10/18 14:50:45
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